4.3. Пересечение многогранника плоскостью

При пересечении какой-либо поверхности плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Сечением многогранника является многоугольник. Число его сторон и вершин равно соответственно числу граней и ребер многогранника, пересекаемых заданной секущей плоскостью.

Существует два способа построения сечения многогранника:

1. Отыскание вершин многоугольника сечения - способ ребер. При этом построение сводится к многократному решению первой основной позиционной задачи - нахождению точки пересечения прямой с плоскостью;

2. Отыскание сторон многоугольника сечения - способ граней. В этом случае многократно решается вторая основная позиционная задача - нахождение линии пересечения двух плоскостей.

Рассмотрим некоторые задачи по данному вопросу.

Пример 1. Построить сечение шестигранной пирамиды SABCDE, пересекаемой фронтально проецирующей плоскостью  (рис. 4.2.).

б)

Рис.4.2

На рис. 4.2.а видно, что плоскость  пересекает пять ребер пирамиды, значит, в сечении получается плоский пятиугольник.

На комплекс-ном чертеже (рис.4.2.б) легко увидеть что фронтальная проекция 1₂2₂3₂4₂5₂ пятиугольника сечения вырождается в отрезок прямой линии, совпадающей с фронтальной проекцией секущей плоскости (. При помощи линий связи находим горизонтальные прекции вершин пятиугольника на горизонтальных проекциях соответствующих ребер (1₁,2₁13₁,4₁,5₁). Соединив последовательно, с учетом видимости пирамиды, точка 1₁и2₁, 2₁и3₁ и т.д. отрезками прямых линий, получим горизонтальную проекцию сечения. Секущую плоскость  считаем неограниченно продолженной во все стороны, поэтому часть пирамиды, расположенная под плоскостью , не видна на горизонтальной плоскости проекций.

Рис.4.3

Пример 2. Построить проекции сечения треугольной пирамиды SABC плоскостью общего положения  (mn) (см. рис. 4.3.).

Алгоритм построения сечения с помощью способа ребер будет следующим.

Трижды находим точки пересечения ребер AS,BS и CS с плоскостью  методом конкурирующих прямых на фронтальной плоскости проекций, при этом отрезки 12, 23 и 34 берем в плоскости . На П₂ проекции этих отрезков и ребер пирамиды конкурируют: А₂S₂3₂4₂, B₂S₂1₂2₂, C₂S₂ 5₂6₂. На П₂ проекции соответствующих ребр и отрезков пересекаются в точках L₁,K_1,M₁. С помощью линий связи построим проекции L_2,K_2,M₂. Соединив проекции точек получим проекции сечения L₁K₁M₁ и L₂K₂M_2.

Видимость ребер пирамиды относительно секущей плоскости определим методом конкурирующих точек 7,5 на П₂ и 8,9 на П₁.

4.4. Пересечение многогранника прямой линией

При пересечении прямой линии с поверхностью выпуклого многогранника получается две точки встречи - точка входа и выхода.

Их определение основано на решении первой основной позиционной задачи - построить точку пересечения прямой линии с плоскостью (гранью). Алгоритм решения этой задачи заключается в следующем:

а) через заданную прямую проводим вспомогательную плоскость (обычно проецирующую);

б) строим проекции сечения многогранника этой плоскостью, как показано на примере 1;

в) определяем искомые точки в пересечении заданной прямой со сторонами построенного сечения;

г) определяем видимость прямой линии относительно поверхности многогранника.

Пример 3. Построить точки пересечения прямой l общего положения с поверхностью октаэдра R. (см. рис. 4.4).

Запишем решение в символической форме:

Рис.4.4

1 . l, на П₂ _l₂

2. R

на _ l_₂_____,

наП₁ строим _₁₁₁₁_

3.l₁1₁2₁3₁4₁5₁6₁__на _находим _ и _.

4. Видимость концов прямой можно определить по видимости граней, которым принадлежит точка К и М.