Пирогов. Сопротивление материалов 2008

По условиям полной симметрии

σm = σt .

Согласно уравнению (10.1):

σm = σt = qR2δ .

Напряженное состояние двухосное:

Пример 8. Цилиндрический сосуд с днищами (рис. 62, а) находится под действием внутреннего давления q. Радиус цилиндра равен R, толщина стенки – δ. Определить напряжения в стенке цилиндра.

Рис. 62

Отсекаем поперечным сечением I – I часть цилиндра (рис. 62, б) и составляем для нее уравнение равновесия. Согласно первой теореме равнодействующая (Q) сил внутреннего давления на днище

будет равна

Q = π R2 q.

Эта сила уравновешивается меридианальными напряжениями, действующими в поперечном сечении цилиндрической оболочки

σт2πRδ= πR2 q.

Таким образом,

σm = 2Rδq .

111

Для цилиндра ρm = ∞, ρt = R . Из формулы (10.1) находим

σt = Rδ q .

Полученный результат свидетельствует о том, что максимальное напряжение в цилиндрической оболочке вдвое больше напряжения в сферической оболочке того же радиуса и той же толщины. Понятно, что сферическая форма оболочки более рациональна для содержания газа с высоким давлением.

Пример 9. Конический сосуд, геометрические размеры которого представлены на рис. 63, а, заполнен жидкостью с удельным весом γ. Допустимое напряжение – [σ]. Рассчитать напряжения в сосуде, построить эпюры σт и σt и определить толщину сосуда, используя третью теорию прочности.

Нормальным коническим сечением (вершина конуса в точке А) отсекаем нижнюю часть конической оболочки высотой х (рис. 63, г) и составляем для нее уравнение равновесия:

2πrx δσm cosα =Q ,

где Q – равнодействующая давления жидкости на отсеченную часть оболочки. Согласно теореме 2, Q равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью отсеченной части конуса. Этот объем равен сумме объема отсеченного конуса высотой х и объема цилиндра радиусом rx и высотой (h – х). Таким образом,

получаем

Учитывая, что rx = x tg α , получаем выражение для σm :

Максимального значения σm достигает для сечения с координа-

той x = 0,75h :

σm|x=0,75h = 16δ cosα γh2.

112

Рис. 63

Для сечения с координатой х = h:

σm |x=h = 6δtgcosαα γh2.

Эпюра σm представлена на рис. 63, б. Запишем уравнение Лапласа:

Получаем выражение для σt в виде

Максимального значения окружное напряжение достигает для x = h2 (посередине высоты конуса):

Эпюра σt представлена на рис. 63, в.

Из анализа эпюр σm и σt очевидно, что наиболее опасными будут точки сечения, где σt принимает максимальное значение, т.е.

114

В осевых сечениях цилиндра (плоскости abcd и efgh) по условиям симметрии касательные напряжения отсутствуют и действуют только нормальные напряжения σϕ , называемые окружными. В

поперечных сечениях цилиндра (плоскости abgh и cdef) могут существовать нормальные напряжения σx (например, при наличии у

трубы днищ). Эти напряжения предполагаются неизменяемыми как по оси, так и по радиусу цилиндра. Касательные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют, так как плоскости этих сечений не искривляются и точки сечений перемещаются только в радиальном и осевом направлениях. Поскольку площадки abcd и cdef свободны от касательных напряжений, от этих напряжений будут свободны цилиндрические поверхности adeh и bcfg. Напряжение на поверхности adeh обозначим через σr и назовем его радиальным. При пе-

реходе от радиуса r к r + dr (от поверхности adeh к поверхности bcfg) напряжение σr получит приращение dσr .

Проецируя усилия, действующие на элемент, на направление

следующее дифференциальное уравнение равновесия:

(σr + dσr )(r + dr)d ϕdx −σrrd ϕdx −σϕdr dx d ϕ = 0

или, пренебрегая малыми величинами высшего порядка, получаем выражение:

элемента. Обозначим через u радиальное перемещение точки, находящейся на расстоянии r от оси (точки a и h на рис. 66).

Уравнение (11.9) – линейное однородное дифференциальное

уравнение второго порядка типа Эйлера. Как известно, его частные

Подставляя выражение (11.10) в уравнение (11.9), получаем после сокращения на rn−2 характеристическое уравнение:

n2 −1 = 0 .

Корням этого уравнения n1 =1, n2 = −1 соответствуют частные

(1 + μ)PR2R2

C2 = 2 − 1 2 2 .

E(R2 R1 )

Подставляя C1 и C2 в формулы (11.12), получаем окончательные выражения для радиальных и окружных напряжений:

На рис. 67 представлены эпюры радиальных и окружных напряжений.

Согласно формуле (11.6) осевое напряжение будет постоянно по толщине стенки и равно:

PR2

σx = Eεx +2μ 1 . (11.14)

R22 − R12

Следовательно, полученное решение строго верно в тех случаях, когда к торцам трубы приложены равномерно распределенные растягивающие или сжимающие внешние силы (в частном случае эти си-

лы могут быть равны нулю). Равно- Рис. 67 действующую внутренних сил в поперечном сечении обозначим че-

рез N. Площадь поперечного сечения трубы равна π(R22 −R12 ) . Если труба имеет днища, растягивающая сила N равна равнодействующей давления на дно, площадь которого есть πR12 . В этом случае осевые напряжения будут равны: