Пирогов. Сопротивление материалов 2008

σ(M y ) = − M y z .

J y

Положительный момент My вызывает в точках с отрицательными координатами z растяжение, т. е. положительные напряжения, и наоборот, в точках с положительными координатами z – отрицательные напряжения (рис. 52). Этим фактом объясняется знак «минус» в выражении для σ(My).

Рис. 52

В плоскости действия момента Mz (плоскость х – у) находится главная центральная ось у. Аналогично рассуждая, получаем, что нормальные напряжения, обусловленные действием момента Mz , равны:

Нашли выражение (8.1) в левой системе координат (верхние знаки). Аналогично рассуждая, можно получить выражение для σ в правой системе координат (нижние знаки).

Эпюры нормальных напряжений, возникающих под действием N, M y и M z , представлены на рис. 52.

Поперечные силы Qy и Qz вызывают касательные напряжения в поперечном сечении τxy (Qy ) и τxz (Qz ) соответственно (деформация сдвига). Крутящий момент M x вызывает деформацию кручения вокруг оси х и появление касательных напряжений τxt (M x )

в плоскости у – z.

Очевидно, что при одновременном действии Qy , Qz и M x ка-

сательные напряжения в точках поперечного сечения определятся выражением:

(7.15). Для расчета напряжений τxz В формуле (7.15) индексы у ме-

няются на z, индексы z – на у. Однако в большинстве практических случаев τxy (Qy ) и τxz (Qz ) значительно меньше касательных на-

пряжений τxt (M x ) , обусловленных крутящим моментом. По этой причине, как правило, ограничиваются подсчетом τxt (M x ) по

формулам (6.26) и (6.27).

Эпюры касательных напряжений τxy (M x ) и τxz (M x ) в точках

контура сечения представлены на рис. 52.

Проанализируем напряженное состояние в точках А, В и С. Одна из них будет самой опасной.

В точке А имеем одноосное растяжение (рис. 53, а), так как касательное напряжение равно нулю, а нормальное напряжение согласно (8.1) равно

92

Рис. 53

Положительное напряжение σ в точке А – самое большое в поперечном сечении.

В точке С имеем двухосное напряженное состояние (рис. 53, б). Нормальное напряжение

σ= N + M z yC , F Jz

Касательное напряжение τxy (Qy ) согласно (7.15) равно нулю. Касательным напряжением τxz (Qz ) , которое согласно (7.16) равно:

τxz = 32 QFy ,

пренебрегаем.

Касательное напряжение, обусловленное M x , согласно (6.26)

равно:

τxz = αMhbx2 .

Нормальное напряжение в точке С меньше, чем в точке А, но наличие касательного напряжения может сделать эту точку более опасной, чем точка А.

В точке В также имеем двухосное напряженное состояние

(рис. 53, в).

93

Нормальное напряжение

σ= N + M y .

F Wy

Касательное напряжение, обусловленное моментом Мх, согласно (6.27) равно:

τxz = η αMhbx2 .

Касательное напряжение τxz (Qz ) согласно (7.15) равно нулю. Касательное напряжение τxy (Qy ) согласно (7.16) равно:

τxy = 32 QFy .

Этим напряжением пренебрегаем.

Видно, что касательное напряжение τxy в точке В меньше, чем напряжение τxz в точке С. Однако нормальное напряжение может

Для решения вопроса о наиболее опасной точке необходимо в рамках выбранной теории прочности вычислить эквивалентное напряжение для всех трех точек. Та точка, для которой эквивалентное напряжение максимально, является наиболее опасной.

Расчет прочности ведется по σэкв в наиболее опасной точке.

Условие прочности будет удовлетворено, если:

σэкв ≤[σ].

8.2. Косой изгиб

Косым называется изгиб, при котором силовая плоскость не содержит главной оси поперечного сечения. Косой изгиб может рассматриваться как частный случай сложного сопротивления, когда

N = 0 и M x = 0.

Рассмотрим прямолинейный брус длиной l прямоугольного поперечного сечения, защемленный одним концом и нагруженный

94

силой Р (рис. 54, а). Размеры поперечного сечения h × b (h > b). Плоскость действия силы Р (силовая плоскость) образует с плоскостью х – z угол α.

Рис. 54

95

Очевидно, что самое опасное сечение – сечение заделки, где изгибающий момент M изг равен Pl. Разложим изгибающий момент в

сечении заделки на составляющие моменты относительно осей у и z (рис. 54, б):

M y = −Mизг cos α = −Pl cos α ,

M z = M изг sin α = Pl sin α .

Нормальное напряжение в точке, имеющей координаты у и z, согласно (8.1) равно:

Полагая σ = 0, найдем уравнение нейтральной линии:

Брус изгибается не в плоскости M изг , а в плоскости, перпенди-

кулярной нейтральной линии, где жесткость на изгиб будет меньше. Таким образом, реализуется косой изгиб.

Эпюра нормальных напряжений в сечении [уравнение (8.3)] линейна, так как представляет сумму двух линейных функций. Максимальное напряжение возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

Полученные выражения (8.3) и (8.4) справедливы для бруса произвольного поперечного сечения при условии, что у и z – глав-

Наиболее удаленные точки

Вточке А напряжение

σ= 6hbPl2 cos α + bh6Pl2 sin α .

Вточке В напряжение

σ= − 6hbPl2 cos α − bh6Pl2 sin α .

8.3.Внецентренное растяжение и сжатие

Внецентренное растяжение (или сжатие) возникает тогда, ко-

гда равнодействующая внешних сил смещена относительно оси бруса и остается ей параллельной.

Пусть брус, размеры которого представлены на рис. 54, нагружен в торцевом сечении растягивающей силой Р.

Точка приложения силы имеет координаты y0 и z0 .

Все поперечные сечения бруса равноопасны, так как в них действуют одни и те же внутренние силовые факторы. Это

N = P, M y = −Pz0 , M z = Py0 .

Нормальные напряжения в произвольной точке с координатами (y, z) согласно (8.1) равны:

Полагая σ = 0, найдем уравнение нейтральной линии:

97

Нейтральная линия не проходит через начало координат. Ее положение не зависит от величины силы и определяется только координатами ее приложения.

Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. В нашем случае (прямоугольное поперечное сечение) это точка А (рис. 55).

Напряжение для точки А yA = h2 , zA = b2 равно:

Эпюра σ и нейтральная линия представлены на рис. 55.

Рис. 55

98

9.ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СЕЧЕНИЙ БРУСА

9.1.Работа внешних сил и потенциальная энергия при растяжении, изгибе, кручении и сложном нагружении

При статическом нагружении, когда нагрузка возрастает медленно от нуля до своего конечного значения, считается, что вся работа внешних сил (А) переходит в потенциальную энергию упругой деформации нагруженного тела (U), т.е.

A = U.

Для определения потенциальной энергии выделим из бруса длиной l элементарный участок длиной dx. В случае одновременного растяжения, кручения и изгиба в торцевых сечениях элемента возникают шесть внутренних силовых факторов, которые будем рассматривать как внешние по отношению к нему. Определим их работу. Важно отметить, что каждый фактор вызывает такие перемещения, на которых остальные не совершают работы. Так, например, нормальная сила N удлиняет элемент на (dx), но на этом перемещении работа совершается только этой силой, что дает возможность рассмотреть вклад в потенциальную энергию бруса каждого фактора в отдельности. Уже отмечали, что касательные напряжения, обусловленные силами Qy и Qz , в большинстве слу-

чаев много меньше, чем напряжения, вызванные другими факторами. Поэтому в настоящем рассмотрении пренебрежем работой сил Qy и Qz .

При растяжении путь силы N равен удлинению элемента (dx). Между N и (dx) согласно (2.5) существует пропорциональная зависимость. Следовательно, работа (dAp ) силы N на перемещении

99

Общая потенциальная энергия бруса при растяжении определяется как сумма потенциальных энергий его отдельных элементов. Таким образом,

гласно (6.28) существует пропорциональная зависимость. Следо-

При изгибе торцевые сечения элемента взаимно поворачиваются на угол dθ вокруг оси z под действием момента M z или вокруг оси

у под действием момента M y . Из выражения (7.8) следует, что между моментами M z (или M y ) и dθ существует пропорциональная зависимость. Отсюда работа (dAизг, z ) изгибающего момента M z

на угловом перемещении dθ равна:

dAизг, z = dUизг, z = 0,5M zdθ.

Работа момента M y (dAизг, y ) равна:

dAизг, y = dUизг, y = 0,5M ydθ.

Учтем, что ρd θ= dx (см. рис. 38), и исключим ρ1 , используя вы-

ражение (7.8).

100