12. Функциональные зависимости, аксиомы, правила вывода функциональных зависимостей

Одним из основных типов зависимостей, рассматриваемых в РБД,  являются функциональные зависимости.

            Пусть А и В атрибуты отношения  R .   Говорят, что атрибут В отношения R функционально зависит от атрибута А, если в каждый момент времени каждому значению  а соответствует не более одного значения b. Функциональную зависимость f атрибута В от атрибута А  обозначают :  f : А    В.  Эту зависимость f  можно также представить множеством упорядоченных  пар   {< а, b>/ а   А,  b   В }, в которых каждому значению  а соответствует только одно значение b.  При этом говорят, что  В  функционально зависит  ( или просто зависти )  от А,  а  А  функционально определяет ( или просто определяет) В.

            Если  существует единственная  функциональная зависимость В от А, то её  обозначают просто  А    В.   В  случае  отсутствия между ними  функциональной зависимости вводят   обозначение   А     В.   Если   А    В   и одновременно   В   А ,   то между   А  и   В   существует  взаимно однозначное соответствие,  что  записывается   как   А    В.

            Пусть имеется множество атрибутов А₁, А₂,...,А_n   отношения  R,  а  также множество  F   Ф.З.   Х    Y,  где   Х  и   Y  - подмножества атрибутов  множества А₁, А₂,...,А_n.  Тогда  из Ф.З. (функциональные зависимости),   входящих  в  F,  могут быть  выведены другие   Ф.З.,  присущие   отношению  R.

            Обозначим через   F⁺   замыкание   множества  ФЗ  F, т.е. полное множество зависимостей,  которое   можно  получить  из  F.

                        Правило  вывода  ФЗ :

            1. Правило  ФЗ 1 (свойство рефлексивности).  Если Х    U,  Y   U    и   Y   Х, то имеет место Ф.З.   Х  Y.

             Правило  ФЗ 2  (свойство пополнения).   Если Х    U,  Y   U    и   Z    U            и  имеет  место Ф.З. Х  U,  X    Z     Y     Z.

            В отличии от правила ФЗ 1  данное говорит о том,  что для его применения   несу   щественно   выполнение   условий Y   Х.  Т.е.  любые атрибуты из множества U можно  одновременно   подставлять   в  левую и  правую  части выражения  Ф.З. F.

            Например,  имеется   универсальное отношение U(A₁, A₂, A₃, A₄, A₅)   и  заданы  наборы  атрибутов X={A₁, A₃}, Y={A₂, A₄}, Z={A₅},  тогда  из условия,  что  существует  Ф.З. Х  Y : {A₁, A₃} {A₂, A₄}, следует,  что  имеет  место  зависимость:

            {A₁, A₃, А₅} {A₂, A₄, А₅},

            3.  Правило  ФЗ 3  (свойство  транзитивности) .  Если Х    U,  Y   U    и   Z   U  и имеют  место  зависимости Х  Y и Y  Z, то Х Z .  Например,  имеются  подмножества  атрибутов X={A₁, A₃}, Y={A₂, A₄}, Z={A₅}. Тогда из условия существования зависимостей   {A₁, A₃} {A₂, A₄}, {A₂, A₄} {A₅} следует, что имеет  место зависимость {A₁, A₃} {A₅}.  

Кроме этих правил часто используют   дополнительные   правила  следствия  ФЗ 1,  ФЗ 2,  и   ФЗ 3.

 

            4.  Правило  ФЗ 4   (свойство  расширения).   Если Х    U,  Y   U и  задана ФЗ, 

  Х  Y , тогда  для любого Z   U имеет   место Ф.З. X Z  Y.

 

            5.   Правило  ФЗ 5  (свойство  продолжения).  Если Х    U,  Y   U, W    U,  Z   U и  задана Ф.З. Х  Y,  то  для любых W    Z имеет место зависимость X Z  Y  W.

 

            6.   Правило  ФЗ  6   ( свойство  псевдотранзитивности).  Если Х    U,  Y   U,

W    U,  Z   U и  заданы  Ф.З. Х  Y, Y W  Z ,  то имеет  место  Ф.З. X W  Z.

 

            7.    Правило  ФЗ  7   (свойство  аддитивности).  Если Х    U,  Y   U,  Z   U,  и   заданы   Ф.З. Х  Y, Х  Z,  то  имеет  место  Ф.З. X Y  Z.

 

            8.     Правило  ФЗ  8   (свойство  декомпозиции). Если Х    U,  Y   U,  Z   U,  и при этом   Z   Y и   заданы   Ф.З. Х  Y,  то  имеет место  Ф.З. Х  Z.