10. Реляционное исчисление с переменными кортежами

 

Формула реляционного исчисления помимо арифметических операций включает дополнительные логические операции (A и E). Используются также операции И,ИЛИ,НЕ.

Формулы реляционного исчисления строятся из атомов и совокупности арифметических и логических операторов, выражение реляционного исчисления с переменными кортежами может иметь вид:

{r|Ψ(r)},где r-кортеж, Ψ(r) – некоторая формула исчисления.

Пример; {r|R1(r)^R2(r)} – необходимо получить множество всех кортежей, таких, что они принадлежат отношениям R1 и R2.

Атомы формул бывают трех типов:

1. R(t), где R – имя отношения, t – кортеж в отношении

2. s[i]θu[j], где s и u – переменные кортежи, θ – арифметический оператор. i,j – номера или имена интересующих столбцов. S[i]- i-й компонент кортежа переменной

3. s[i]θa, или aθs[i], где a=const.

При записи выражения используются понятия свободных ли связных переменных. Вхождение переменной x в формулу РИ Ψ(x) связано, если она находится в части формулы, начинающейся квантором A или E, за которым непосредственно следует переменная x. В таких случаях говорят, что квантор ее связывает.

В реляционном исчислении вводятся и рассматриваются безопасные выражения.

Выражение в РИ является безопасным, если:

1. Из истинности Ψ(t) следует, что каждый компонент кортежа t принадлежит D(Ψ).

2. Для любой подформулы вида (Eu)(Ψ1(u)) входящей в состав Ψ, из истинности Ψ1(u) следует, что u принадлежит D(Ψ1).

3. Для любой подформулы вида (Au)(Ψ1(u)), входящей в состав Ψ, из истинности Ψ1(u) следует, что u не принадлежит D(Ψ1).

Множество D(Ψ) определяется как функция фактических отношений, которая указывается в Ψ(t), констант, присутствующих в формуле Ψ(t) и элементов кортежей тех отношений, которые указывают в Ψ (t)

D(Ψ)={a_1Ψ}U{a_2Ψ}U…U{a_nΨ}UП₁(R₁)U…UП_k(R_n), где a_iΨ – const, встретившиеся в формуле Ψ(t),

П_i(R_j) – проекции кортежей фактических отношений R₁-R_n встретившихся в формуле Ψ(t), то есть, в данном случае, компоненты кортежей.

Для каждого выражения реляционной алгебры существует эквивалентное ему безопасное выражение в реляционном исчислении с переменными на кортежах.

11. Реляционное исчисление с переменными на доменах

 

Строится так же, как и исчисление на кортежах (с использованием тех же самых операторов).

Атомами формул могут быть:

1. R(x₁ … x_n), где x_i –const или переменная на некотором домене. Этот атом указывает, что значение тех xi, которые являются переменными д.б. выбраны так, чтобы (x1..xk) было кортежем отношения R.

2.  xθy, где x,y-const, или переменные на некотором домене. θ – арифметический оператор сравнения, смысл атома заключается в том, что x и yпредставляют собой значения, при которых истинно xθy. Формулы в РИ с переменными на доменах также используют A, E, И, ИЛИ, НЕ. Аналогично используются понятия свободной и связанной переменной.

Формула РИ с переменными на домене имеет вид: {x1..xk|Ψ(x1..xk)}, где Ψ – формула, обладающая тем свойством, что только ее свободные переменные на доменах являются различн. перемен. х1..хk.

Выражение РИ c переменными на доменах является безопасным, если

1. Из истинности Ψ(x1..xk) следует, что xi принадлежит D(Ψ).

2. Если существует и (Eu)(Ψ1(u)) является подформулой Ψ, то из истинности Ψ1(u) следует, что u принадлежит D(Ψ1)

3. Если для любого u (Au)(Ψ1(u)) является подформулой Ψ1(u) следует, что u не принадлежит D(Ψ1).

Для каждого безопасного реляционного выражения с переменными на доменах существует эквивалентное ему выражение реляционной алгебры и эквивалентное ему выражение реляционного исчисления с переменными на кортежах.

Выражение исчисления на доменах эквивалентное заданному выражению с переменными на кортежах строится следующим образом:

1. Если t является кортежем арности k, то вводится k новых переменных на доменах t1..tk

2. Атомы R(t) заменяются атомами R(t1..tk)

3. Каждое свободное вхождение t[i] заменяется на ti

4. Для каждого кванта (Eu) и (Au) вводится m новых переменных на доменах u1..um, где u-арность кортежа. В области действия выполняются следующие замены:

RmR(U1..Um) U[i]Ui EUEU1..EUm AUAU1..AUm

5. Выполняется построение выражения {t1..tk|Ψ`(t1..tk)}, где Ψ’, это Ψ, в которой выполнены соответствующие замены.