Выражение векторного произведения через координаты.

11. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.Е. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a || b. Данные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Условие коллинеарности векторов a (a_x; a_y; a_z), b (b_x; b_y; b_z). Так как a || b, то можно записать a = *b, где  - некоторое число.

Отсюда a_x = b_x , a_y = b_y , a_z =b_z , т.е.

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

12. Векторно-скалярное, или смешанное, произведение трех векторов (a  b)  с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Геометрический смысл выражения (a  b)  с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b, с и вектор d = а  b.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения:

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х Ь)  с = (Ь х с)  а = (с х а)  Ь. Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. (а х b)  c = а  (Ь х c). Действительно, (а х Ь) с = ±V и а  (Ь х с) = (Ь х с)  а = ±V. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, Ь, с и Ь, с, а - одной ориентации. Следовательно, (а х Ь)  с = а(Ь х с). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х Ь)с в виде аbс без знаков векторного, скалярного умножения.

Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. аbc=-aсb, аbc=-bаc, аbc=-cbа. Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и c равно нулю. Тогда и только тогда, когда они компланарны. Если аbc = 0, то а, b, c - компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы а = a_xi + а_у j+ a_zk, b = b_xi + b_yj + b_zk, c = c_xi + c_уj + с_zk.

Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений (сокращенная формула, т.к. правая часть равенства представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки):

Смешанное произведение векторов равно определителю 3-его порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

49. Асимптота кривой – прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если , или , или

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде Если существует наклонная асимптота у = kx + Ь, то k и Ь находятся по формулам

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы, то прямая является наклонной асимптотой. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то кривая у = f(x) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если k = 0, то . Поэтому y=b – уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: асимптоты графика функции у = f(x) при х + и х - могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов и следует отдельно рассматривать случай, когда х + и когда х -.