6. Аналитическая геометрия на плоскости.

• Линия на плоскости – это множество точек, которые обладают некоторым, только им присущим, геометрическим свойством

• Линия на плоскости задается уравнением с двумя координатами

• Уравнением линии в прямоугольной системе координат является уравнение с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Простейшие задачи:

• Расстояние между двумя точками

• Деление отрезка в заданном отношении

• Если С – середина отрезка АВ, то ее координаты равны полусумме соответствующих координат концов отрезка

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярно вектору.

_{Пусть дана прямоугольная система координат} и задана прямая L, проходящая через точку перпендикулярно вектору _.

_{Вектор, перпендикулярный к прямой называется нормальным вектором.}

_Пусть М- произвольная точка. Точка М(х;у) лежит на прямой l, содержащей точку М₀(х₀;у₀) и перпендикулярна вектору _{, тогда и только тогда, когда:}

Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

Т. е. уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно вектору будет иметь вид:

Раскрыв все скобочки и обозначив константы через С, получим общее уравнение прямой.

Если из общего уравнения прямой выразить y, то получим уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

И з общего уравнения получаем уравнение прямой в отрезках:

Где a и b- это длины отрезков, отсекаемые прямой соответственно на осях координат.

Каноническое уравнение прямой.

П усть прямая l проходит через точку М₀(х₀;у₀) параллельно заданному вектору

Л юбая точка М(x,y) тогда и только тогда окажется на этой прямой, когда векторы и будут параллельные.

Для этого необходимо, чтобы одноименные координаты были пропорциональны, т.е.

Параметрическое уравнение прямой.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости. Даны две прямые:

1. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны или координаты перпендикулярных векторов пропорциональны

2. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты противоположны по знаку и обратны по величине или сумма произведений соответствующих координат перпендикулярных векторов равна нулю

Уравнение прямой проходящей через 2 точки

имеет вид:

Уравнение прямой проходящей через точку М₀(х₀;у₀) с заданным угловым коэффициентом k имеет вид: