3.Системы линейных уравнений.

Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a_IJ - коэффициенты системы,числа b_i - свободные члены

Матричная форма записи системы линейных уравнений

,

Решением системы называются n значений неизвестных c₁, c₂,…, c_n, при подстановке которых в систему все уравнения системы обращаются в верные равенства. Решение системы можно записать в виде вектор – столбца.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений не имеет.

Теорема Кронекера – Капелли

Система ЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной

Методы решения системы ЛУ

1. Метод Гаусса (расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований свести к ступенчатой, а потом к канонической)

К элементарным преобразованиям относятся:

- перестановка строк (столбцов)

- прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на число, отличное от 0.

Составим расширенную матрицу:

Выберем ведущий элемент, стоящий в первом столбце и первой строке, элемент 1., назовем его ведущим. Строка, в которой находится ведущий элемент меняться не будет. Обнулим элементы под главной диагональю. Для этого прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2). Прибавим к третьей строке первую, умноженную на (-1), получим:

Поменяем вторую и третью строки местами. Мысленно вычеркиваем первый столбец и первую строку и продолжаем алгоритм для оставшейся матрицы. К третьей строке прибавляем 2-ю, умноженную на 5.

Привели расширенную матрицу к ступенчатому виду. Возвращаясь к уравнениям системы, начиная с последней строки и двигаясь вверх, поочередно определяем неизвестные.

2. Матричный метод (AX=B, A^-1AX=A^-1B, X=A^-1B; матрицу, обратную к основной матрице умножить на столбец свободных членов)

3. Метод Крамера.

Решение системы находится по формуле:

Где -определитель измененной основной матрицы, в которой i-й столбец изменен на столбец свободных членов, а - главный определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

4.Векторы.

Вектор – это направленный отрезок

Любой вектор задается длиной (модулем) и направлением.

Обозначение: или

где А – начало вектора, В – конец вектора, – длина вектора.

Классификация векторов

Нулевой вектор – это вектор, длина которого равна нулю

Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице

Равные векторы – это два вектора, у которых совпадают длина и направление

Противоположные векторы – это два вектора, у которых длины равны, а направления – противоположные

Коллинеарные векторы – это два вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых

Сонаправленные векторы – это два коллинеарных вектора с одинаковым направлением

Противоположно направленные векторы– это два коллинеарных вектора с противоположным направлением

Компланарные векторы – это три вектора, которые лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях

• Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая называется осью абсцисс, а вертикальная – осью ординат

Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие два числа: абсциссу и ординату

• Прямоугольная система координат в пространстве – это три взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая, направленная на нас, называется осью абсцисс, горизонтальная прямая, направленная вправо от нас - осью ординат, а вертикальная прямая, направленная вверх – осью аппликат

Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие три числа: абсциссу, ординату и аппликату

Теоремы о разложении вектора

Любой вектор на плоскости можно разложить в линейную комбинацию двух неколлинеарных векторов и при том только единственным образом

Любой вектор в пространстве можно разложить в линейную комбинацию трех некомпланарных векторов и при том только единственным образом

Где, i ,j, k- единичные векторы (орты)

• Координаты вектора – это числа, стоящие перед ортами в разложении вектора по ортам

• Чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала

Действия над векторами в координатной форме

1. Чтобы сложить или вычесть два вектора в координатной форме, надо соответствующие координаты сложить или вычесть

2. Чтобы умножить вектор в координатной форме на число, надо каждую координату умножить на это число

3. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие координаты

4. Вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны

5. Длина вектора в координатной форме равна квадратному корню из суммы квадратов его координат

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Скалярное произведение двух векторов, заданных в координатной форме равно сумме произведений соответствующих координат

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение длин этих векторов

Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов называется вектор c, который

1. перпендикулярен двум данным

2. образует с ними правую тройку

3. с длиной, равной произведению длин данных векторов на синус угла между ними

Обозначение:

Векторное произведение двух векторов заданных в координатной форме равно определителю третьего порядка, в первой строке которого стоят орты, во второй строке стоят координаты первого вектора, а в третьей строке – координаты второго вектора

Векторный квадрат вектора равен нулю

Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, а половина модуля векторного произведения равна площади треугольника

Cмешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения двух первых векторов на третий вектор

Обозначение:

Свойства смешанного произведения векторов

1. Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю

2. Смешанное произведение векторов в координатной форме равно определителю третьего порядка, в строках которого записаны координаты соответствующих векторов

3. Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

4. Объем тетраэдра равен модулю смешанного произведения векторов деленному на 6

5. Если смешанное произведение векторов положительно, то эти вектора образуют правую тройку. Если смешанное произведение векторов отрицательно, то эти вектора образуют левую тройку