Квантовые статистики. Энергия Ферми

 Спин – внутреннее характерное неотъемлемое свойство элементарных частиц (наряду с массой и зарядом). Спин электрона и фотона:

; .

Спин определяет собственный (спиновый) механический момент импульса частицы и связанный с ним магнитный момент . Здесь – постоянная Планка с чертой, е – модуль заряда электрона, m_e – его масса. Спин – квантовый релятивистский эффект. Классического аналога для спина нет. Частицы подчиняются разным статистическим закономерностям, в зависимости от того, целый спин у частиц или полуцелый.

 Функция распределения Бозе-Эйнштейна (квантовая статистика для бозонов – частиц с целым спином; пример - фотоны):

, ,

где i – номер квантового состояния; – средняя заселённость i-го состояния ( ; – число частиц в i-м состоянии); – энергия частицы в i-том состоянии; k – постоянная Больцмана; T – температура; – химический потенциал (увеличение внутренней энергии системы при добавлении в неё одной частицы при постоянных объёме и энтропии: и ).

 Функция распределения Ферми-Дирака (квантовая статистика для фермионов – частиц с полуцелым спином; пример – электроны):

, ,

где i – номер квантового состояния; – средняя заселённость i-го состояния ( ; – заселённость, то есть число частиц в i-м состоянии; для фермионов может быть только 0 или 1); – энергия частицы в i-том состоянии; – химический потенциал, в первом приближении для фермионов равный энергии Ферми ( ); k – постоянная Больцмана; T – температура. Для фермионов имеет также смысл вероятности заполнения i-го состояния.

 Энергия Ферми – это максимальная энергия электронов при ; она зависит от концентрации электронов n: чем больше частиц, тем большее число уровней будет занято и тем выше окажется последний занятый уровень (рис. 6.4), и тем выше соответствующая энергии температура Ферми :

; .

П оложение уровня Ферми немного зависит от температуры, поэтому при температурах T>0 уровнем Ферми по определению называется уровень, вероятность заполнения которого равна 0.5:

.

Температурная зависимость сопротивления металлов и полупроводников. p-n – переход. Термоэлектричество

 Зависимость сопротивления R и удельного сопротивления ρ металла от температуры

,

где – температурный коэффициент сопротивления (удельного сопротивления) для чистых металлов; ( ) – сопротивление (удельное сопротивление) при , – абсолютная температура.

 Зависимость сопротивления R, удельного сопротивления ρ и проводимости γ собственного полупроводника от температуры:

,

,

,

г де k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; ΔE – ширина запрещённой зоны, то есть минимальная энергия, необходимая для переходя электрона из валентной зоны в зону проводимости и образования пары электрон-дырка в беспримесном полупроводнике (рис. 6.5).

 Сила тока, текущего через p-n – переход:

, или .

Здесь – элементарный заряд, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, U – напряжение на p-n – переходе (U>0 для прямого включения и U<0 – для обратного).

 Термоэлектродвижущая сила (ТЭДС), возникающая в замкнутой цепи, составленной из разнородных проводников с различными температурами спаев (контактов):

,

где (T₂–T₁) – разность температур спаев термопары; – удельная термо-ЭДС.