Раздел 3. Электростатика и постоянный ток Электростатика

 Закон Кулона. Сила F взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов q₁ и q₂ прямо пропорциональна величине каждого заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

, или , или .

Здесь k – постоянная, равная ; ε₀ – электрическая постоянная;  – диэлектрическая проницаемость среды. Для вакуума по определению .

 Диэлектрическая проницаемость среды  показывает, во сколько раз взаимодействие зарядов в среде ослабляется по сравнению с вакуумом:

, или ,

где F – сила взаимодействия зарядов в среде, F₀ – в вакууме; E – напряжённость поля в среде, E₀ – в вакууме.

 Закон сохранения заряда. В замкнутой (точнее, электрически изолированной, то есть не обменивающейся зарядами с окружающей средой) системе алгебраическая сумма электрических зарядов сохраняется:

.

 Напряжённость электростатического поля в данной точке:

,

где – сила, действующая на пробный точечный заряд q, помещённый в данную точку поля.

 Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в точку электрического поля с напряжённостью :

.

 Принцип суперпозиции. Напряжённость поля, созданного в данной точке системой зарядов, равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных в этой точке каждым зарядом: . В случае непрерывного распределения зарядов: . Интегрирование ведётся по всему объёму, в котором расположены заряды.

В случае двух электрических полей с напряженностями и модуль результирующего вектора напряженности:

,

где – угол между векторами и (рис. 3.1).

 Линейная плотность заряда, распределенного по нити (цилиндру) есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу её длины:

.

 Поверхностная плотность заряда, распределённого по поверхности, есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу площади этой поверхности:

.

 Объёмная плотность заряда – это заряд единицы объёма:

.

 Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда

.

 Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R) E=0;

б) на поверхности сферы (r=R) ;

в) вне сферы (r>R) .

 Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью

,

где  – поверхностная плотность заряда.

 Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда (поле плоского конденсатора)

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

 Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром при r>R, R – радиус цилиндра) на расстоянии r от нити (или оси цилиндра):

,

где  – линейная плотность заряда.

 Поток вектора напряженности электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле:

, или ,

г де – площадь элемента поверхности; E_n – проекция вектора напряженности на нормаль (рис. 3.2); – элементарный поток, пронизывающий малую площадку; – угол между вектором напряженности и нормалью к элементу поверхности;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле:

.

 Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность:

,

где интегрирование ведётся по всей поверхности.

 Вектор электрического смещения – вспомогательная характеристика электрического поля, равная

,

где  – диэлектрическая проницаемость, ε₀ – электрическая постоянная, – напряжённость поля. Вектор описывает поле только свободных зарядов (в отличие от напряжённости поля , описывающей суммарное поле свободных и связанных, индуцированных зарядов). Соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.

 Теорема Остроградского – Гаусса. Поток Ф_E вектора напряженности через любую замкнутую поверхность:

,

где – алгебраическая сумма зарядов (свободных и связанных), заключенных внутри замкнутой поверхности; п – число зарядов.

 Теорема Остроградского – Гаусса для электрического смещения . Поток Ф_D вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен

,

где – алгебраическая сумма свободных зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п – число зарядов.

 Циркуляция векторного поля – это интеграл по замкнутому контуру вектора напряжённости поля. Для электростатического поля циркуляция напряжённости:

, или ,

где – проекция вектора напряженности в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке,  – угол между вектором напряженности и элементом контура (рис. 3.3).

 Теорема о циркуляции: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю:

.

 Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга:

,

где  – диэлектрическая проницаемость среды; ε₀ – электрическая постоянная.

 Потенциал данной точки поля – это энергия единичного положительного точечного пробного заряда, помещённого в данную точку поля:

.

Потенциал данной точки поля численно равен работе по перемещению единичного точечного пробного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность: . Потенциал бесконечно удалённой точки считается равным нулю. Если точечный заряд q поместить в точку поля, имеющую потенциал φ, то энергия заряда равна .

 Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии r от заряда:

.

 Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы

- внутри и на поверхности сферы ( ): ;

- вне сферы (r>R): .

Здесь  – диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

 Принцип суперпозиции. Потенциал, созданный в данной точке системой зарядов q_i, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных в данной точке каждым зарядом системы в отдельности:

.

В случае непрерывно распределённых зарядов: . Здесь интеграл берётся по всей области, где локализованы заряды, а потенциал dφ создаётся зарядом , локализованным в элементарном малом объёме dV; ρ – объёмная плотность заряда.

 Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов в данной точке, равен алгебраической сумме потенциалов ₁, ₂, ... , _n полей, создаваемых отдельными точечными зарядами q₁, q₂, ..., q_n:

.

 Потенциальная энергия W взаимодействия системы точечных зарядов q₁, q₂, ..., q_n:

,

где – потенциал поля, создаваемого всеми (п–1) зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд q_i. Энергия системы зарядов равна работе, которую эта система зарядов совершает при удалении их относительно друг друга в бесконечность: .

 Связь потенциала и напряженности электрического поля:

, или .

Здесь . Интегрирование производится по любому контуру, соединяющему точки 1 и 2; – проекция вектора напряженности в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке. В проекциях на любую ось:

.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией:

, или .

В случае однородного поля (когда напряженность в каждой точке поля одинакова как по модулю, так и по направлению:

,

где ₁ и ₂ – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль силовой линии поля.

 Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал ₁, в другую, имеющую потенциал ₂, равна

, или ,

г де – проекция вектора напряженности на направление перемещения; dl – перемещение. В случае однородного поля:

,

где l – перемещение; – угол между векторами напряжённости поля и перемещения .

 Диполь (электрический диполь) – система двух одинаковых по величине противоположных по знаку точечных зарядов q и –q (рис. 3.4). Плечо диполя – вектор, начинающийся на отрицательном заряде и оканчивающийся на положительном. Диполь называется точечным, если его плечо l много меньше расстояния r до точек наблюдения (l<<r).

 Дипольный момент электрического диполя – вектор, равный произведению модуля заряда диполя на плечо диполя:

.

 Напряженность поля точечного диполя в точке А (рис. 3.4) с радиус-вектором , образующим угол α с вектором дипольного момента:

, или .

 Потенциал поля точечного диполя в точке А (рис. 3.4) с радиус-вектором , образующим угол α с вектором дипольного момента:

, или .

 Механический момент сил, действующий на диполь в электрическом поле:

; или ,

где – электрический дипольный момент, – напряжённость поля, α – угол между ними.

 Сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле. В неоднородном электрическом поле, кроме механического момента (пары сил), на диполь действует сила, проекция которой на произвольную ось OX равна:

,

где p_e – дипольный момент, – быстрота изменения поля вдоль оси OX, α – угол между дипольным моментом и вектором напряжённости. Если угол α острый, диполь втягивается в область сильного поля, если тупой – выталкивается.

 Потенциальная энергия диполя в электрическом поле:

,

где – электрический дипольный момент, – напряжённость поля, – угол между ними.

 Электрическая ёмкость проводника:

,

где – заряд, сообщенный проводнику; – изменение потенциала проводника , вызванное этим зарядом. Или: ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу: . (Считается, что потенциал бесконечно удалённой точки равен нулю.)

 Электрическая ёмкость уединенной проводящей сферы (шара) радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε:

.

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость её от этого не изменяется.

 Электрическая ёмкость конденсатора:

,

где – заряд конденсатора; – разность потенциалов обкладок конденсатора.

 Связь между напряженностью поля плоского конденсатора и напряжением на нём:

,

где d – расстояние между обкладками.

 Электрическая ёмкость:

- плоского конденсатора (рис. 3.5):

,

где S – площадь пластин (каждой пластины); d – расстояние между ними (d много меньше размера пластин); ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами;

- плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектрика толщиной каждый с диэлектрическими проницаемостями , (слоистый конденсатор, рис. 3.6):

;

- сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, рис. 3.7):

;

- цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, рис. 3.8) при условии l >>R:

.

 Общая ёмкость при параллельном соединении конденсаторов:

,

где п – число конденсаторов. Для двух конденсаторов: . Для п одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С₁ каждый: .

 Общая ёмкость при последовательном соединении конденсаторов:

,

где п – число конденсаторов. Для двух конденсаторов: . Для п одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С₁ каждый: .

 Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал φ и электрическую ёмкость С проводника следующими соотношениями:

.

 Энергия заряженного конденсатора

где С – электрическая ёмкость конденсатора, q – его заряд, U – разность потенциалов на его пластинах.

 Объёмная плотность энергии – это энергия единицы объёма:

, или .

 Объёмная плотность энергии электростатического поля:

, или ,

где Е – напряжённость поля, D – электрическое смещение.