3.5. Анализ точности дискретных систем.

Как и для непрерывных систем точность дискретных САУ характеризуется величинами статических и динамических ошибок. В ряде случаев значение статической ошибки замкнутой устойчивой системы может быть определено с помощью теоремы о конечном значении:

где - изображение сигнала ошибки.

Для вычисления ошибки при меняющемся воздействии (точнее, когда удается с приемлемой точностью аппроксимировать суммой конечного числа слагаемых вида) используюткоэффициенты ошибки. При выполнении указанного условия ошибку системы, начиная с некоторого момента, можно представить в виде ряда:

, (33)

где - коэффициенты ошибки по положению, скорости и ускорению.

Коэффициенты ошибки рассчитываются по формулам

(34)

Пример 22. Необходимо определить коэффициенты ошибки для дискретной САУ, структура которой приведена на рис. 25.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция по ошибке:

Тогда согласно (34) коэффициенты ошибки: по положению ; по скорости; по ускорению.

Рис.25. Структура дискретной САУ к примеру 21

Следовательно, разложение в ряд (33) имеет вид:

Очевидно, что при ступенчатом сигнале на входе системы установившаяся ошибка в дискретные моменты времени равна нулю, а при линейно-нарастающем входном воздействии величина установившейся ошибки будет равна 0,1.

4. Частотные характеристики дискретных систем

4.1. Теорема Котельникова-Шеннона.

Если немодулированную последовательность - функций представить в виде комплексного ряда Фурье:

,

то выражение (5) для сигнала на выходе квантователя можно переписать следующим образом:

где - частота квантования.

Преобразования Лапласа последнего выражения:

Используя теорему L- преобразования об умножении оригинала на экспоненту, получим:

Приведенные выражения означают, что L- изображения выходного сигнала квантователя являются периодическими функциями с периодом, равным, т.е.

,

где k- целое число.

Осуществив в (35) замену pна, перейдем к спектральной характеристике сигнала на выходе ПИЭ:

.

Очевидно, что спектр этого сигнала пропорционален сумме смещенных (транспортированных) спектров непрерывного сигнала на входе квантователя. Кроме того, он периодичен по частоте с периодом, равным частоте квантования, и поэтому полностью определен в полосе частот, которая называетсяосновной полосой.

С учетом того, что спектр любого сигнала является четной функцией, симметричной относительно частоты , он может быть полностью описан в частотном диапазоне.

Таким образом, в спектре квантованного сигнала по сравнению со спектром соответствующего непрерывного сигнала присутствуют дополнительные высокочастотные составляющие. Как известно, существует однозначная зависимость между спектральной характеристикой сигнала и описывающей его функцией времени. Любое искажение спектра сигнала соответствует потере информации, которая в нем заключена. Ниже сформулированы условия, при которых введение в систему импульсного элемента не приводит к такой потере.

Если спектр не ограничен по частоте (не являетсяфинитным) (рис. 26), то искажений избежать не удается из-за наложения высокочастотных “хвостов” смещенных спектров (рис. 27).

Рис.26. Нефинитный спектр входного сигнала квантователя

Рис.27. Спектр выходного сигнала

Рассмотрим случай, когда спектр ограничен по частоте (финитен), т.е., если, где- частота среза (рис. 28). Если, также происходит наложение транспортированных спектров, в результате чего в основной полосе частот наблюдается различие между спектральными характеристикамии(рис. 29). Когда, наложение смещенных спектров не происходит (рис. 30), и в основной полосе частоти, совпадая по форме, различаются лишь масштабом.

Если на выходе квантователя установлен идеальный фильтр низких частот, обладающей частотной характеристикой:

(36)

Рис.28. Финитный спектр входного сигнала

Рис.29. Спектр выходного сигнала

Рис.30. Спектр выходного сигнала

то спектр его выходного сигнала во всем частотном диапазоне будет совпадать со спектром квантуемого сигнала, т.е. на выходе такого фильтра будет восстановлен сигнал .

Следовательно, если непрерывный сигнал обладает финитным спектром с частотой среза, то квантование по времени этого сигнала с частотойне приводит к его искажению (теорема Котельникова-Шеннона).

Необходимо отметить следующие ограничения, связанные с применением сформулированной теоремы: во-первых, частотная характеристика формирующего элемента, подключенного к выходу квантователя, существенно отличается от (36)) (в частности, для фиксатора в этом легко убедиться, сопоставив (8) и (36): во-вторых, не существует реальных сигналов с финитным спектром, хотя их высокочастотные составляющие могут быть сильно ослабленными.