- •Лекции по курсу
- •1. Общие сведения
- •1.1 Типы квантования непрерывных сигналов.
- •1.2. Решетчатые функции разностные уравнения.
- •1.3. Обобщенная структурная схема дискретной системы.
- •1.4. Простейший импульсный элемент. Формирующий элемент. Фиксатор.
- •2. Основы теории z-преобразования
- •2.1. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование.
- •2.2. Основные теоремы z-преобразования.
- •2.3. Передаточная функция разомкнутой дискретной системы.
- •2.4. Последовательное соединение звеньев в дискретных сау.
- •2.5. Передаточная функция замкнутой дискретной системы.
- •2.6. Обратное z-преобразование.
- •3. Анализ устойчивости и точности
- •3.1 Прямой метод оценки устойчивости.
- •3.2 Критерий устойчивости Шур-Кона.
- •3.3 Критерий устойчивости, использующий билинейное преобразование.
- •3.4. Абсолютно устойчивые системы.
- •3.5. Анализ точности дискретных систем.
- •4. Частотные характеристики дискретных систем
- •4.1. Теорема Котельникова-Шеннона.
- •4.2. Логарифмические частотные характеристики дискретных сау.
- •5. Определение реакции дискретной сау
- •5.1. Метод дробного квантования.
- •5.2. Метод модифицированного z-преобразования.
- •6. Системы автоматического управления
- •6.1. Структура системы.
- •6.2. Передаточные функции цву, реализующего типовые законы управления.
- •7. Коррекция цифровых систем управления
- •7.1. Коррекция дискретных сау с помощью непрерывных регуляторов.
- •7.2. Коррекция сау с помощью цифровых регуляторов.
- •7.3. Физическая реализуемость цифровых регуляторов.
- •7.4. Реализация цифровых регуляторов импульсными фильтрами.
- •7.5. Реализация цифровых регуляторов на базе цву.
- •8. Методические указания и вариаты расчетно-графического задания
- •90 20 0 0 -90 -20 -180 -40 -270 -60 20 2 1
2. Основы теории z-преобразования
2.1. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование.
С учетом (5) можно определить изображение по Лапласу входной величины ПИЭ:
.
Поскольку при всехt, отличных от, окончательно имеем
, (11)
где D{…} – символдискретного преобразования ЛапласаилиD-преобразования. Следовательно, непрерывное преобразование Лапласа (L-преобразование) модулированной последовательности- функций равно дискретному преобразованию Лапласа (D-преобразованию) соответствующей решетчатой функции:
.
Наличие экспоненциальных членов в D-изображениях и связанная с этим необходимость оперировать трансцендентными уравнениями и передаточными функциями несколько усложняет использованиеD- преобразования.
Если в (11) заменить наz, то получим формулу так называемогоZ-преобразованиядля дискретных значений сигнала:
(12)
где комплексные переменные pиzсвязаны между собой следующим образом:
(13)
Следует отметить, что согласно (12) Z-изображение представляет собой сумму членов бесконечного ряда. Если возможно, то необходимо преобразовывать его в компактную форму.
Рассмотрим несколько примеров определения Z-изображений для различных типов сигналов.
Пример 3. Необходимо найти Z-изображение выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – экспоненциальная функция .
Следуя рассмотренной выше методике, необходимо, в первую очередь, найти решетчатую функцию, соответствующую . Выполнение этой операции сводится к формальной замене непрерывного аргументаtв функциина дискретное время. В рассматриваемом примере:
.
Следующий этап – нахождение дискретного преобразования Лапласа приведенной решетчатой функции. С учетом (11) имеем:
.
Применяя формулу суммы членов бесконечно убывающей прогрессии, получаем:
.
Переход к Z– изображению осуществляем на основании (13):
. (14)
Пример 4. Необходимо найти Z-преобразование выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – единичная ступенчатая функция. Искомое изображение определим непосредственно по формуле (12):
(15)
Аналогичный результат может быть получен, если в (14) перейти к пределу при .
Пример 5. Необходимо найти Z-преобразование функции.
Соответствующая решетчатая функция . На основании (12) имеем:
.
Умножая обе части этого выражения на , получим:
.
Вычтем последнее выражение из предыдущего:
.
Следовательно
. (16)
Рассмотрим иной метод выполнения Z-преобразования, который предполагает использование непрерывногоL-изображения сигналавместо решетчатой функциии ееD-изображения. Для случая, когда изображениеимеет конечное число простых полюсов, оно может быть представлено в виде:
,
где p – i-й простой полюс изображения;k– порядок полинома
Осуществим замену и преобразуем последнее выражение к виду:
(17)
Пример 6. Используя формулу (17), необходимо найти Z-изображение экспоненциального сигнала (см. пример 3) непосредственно по егоL- изображению.
Зная, что
,
можно записать:
Тогда
Как и следовало ожидать, полученный результат совпадает с (14).
Согласно (12) определяется только величинами дискрет решетчатой функциии абсолютно не учитывает поведение непрерывного сигналамежду моментами квантования. Тем не менее, для обозначения операцииZ-преобразования наряду св дальнейшем используются выражения видаили. Эта формальная запись означает только то, чтоZ-преобразование осуществляется по решетчатой функции, полученной путем квантования непрерывного сигнала, обладающегоL-изображением.
Для наиболее часто встречающихся функций существуют таблицыZ-изображений, достаточно подробные таблицы приведены в [2,11].