3. Анализ устойчивости и точности

ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

3.1 Прямой метод оценки устойчивости.

Устойчивость замкнутой линейной системы зависит от расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р. Условие устойчивости заключается в том, что все корни должны находиться в левой полуплоскости. Так как дискретные системы с АИМ иявляются линейными, указанное условие распространяется на них.

Каждому корню на плоскостирсогласно (13) соответствует кореньна плоскостиz. Очевидно, что любой изр-корней, лежащий на мнимой оси, определяетz-корень, для которого

и который, следовательно, расположен на единичной окружности, проведенной из начала координат комплексной плоскости z.Всем корнямс отрицательными вещественными частями соответствуютz-корни, у которых. Если же вещественная часть корняположительна, то. Таким образом, замкнутая линейная дискретная система устойчива, если всеz-корни ее характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

Пример 18. Необходимо оценить устойчивость замкнутой дискретной системы, структурная схема которой приведена на рис. 23. Передаточные функции в непрерывной части системы равны:

;.

Величины интервала квантования: Передаточная функция замкнутой системы:

.

Полюса полученной передаточной функции (корни характеристического уравнения) . Величина модуля комплексно-сопряженных корней:

.

Так как все три корня находятся внутри единичного круга, можно сделать заключение, что система устойчива.

Рис.23. Структура дискретной САУ к примеру 18

Для дискретных систем, порядок характеристического уравнения превышает третий, определение корней этих уравнений представляет собой достаточно трудную задачу. Это обуславливает широкое применение косвенных методов оценки устойчивости (критериев устойчивости), не предполагающих вычисление корней характеристического уравнения.

3.2 Критерий устойчивости Шур-Кона.

Алгебраический критерий устойчивости Шур-Кона позволяет анализировать устойчивость замкнутых дискретных САУ по их характеристическому уравнению, записанному в z-изображениях:

.

Для оценки устойчивости системы определяются знаки у kопределителейразмерностью, гдеiнеобходимо изменять от 1 доk.

Каждый из этих определителей состоит из четырех подопределителей размерностью , которые заполняются коэффициентами характеристического уравнения по следующим правилам. Элементы главных диагоналей первого и четвертого подопределителей равны коэффициенту, а второго и третьего – коэффициенту.Далее каждый из подопределителей удобно заполнять по столбцам сверху вниз. При этом индексы в первом и втором подопределителях возрастают, а в третьем и четвертом - убывают. Когда значение индекса устойчивости дискретной САУ элемента достигаетk, дальнейшее заполнение столбца производится нулями.

III

IIIIV

Для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы определители при четномi были положительны, а при нечетномi – отрицательны. При первом же нарушении указанного правила, выявленном в процессе измененияi от 0 доk, можно сделать заключение о неустойчивости системы.

Пример 19. Необходимо оценить устойчивость замкнутой дискретной САУ, рассмотренной в предыдущем примере.

Ее характеристическое уравнение:

.

При i=1:

Поскольку сформулированные выше условия на первом этапе оценки устойчивости не нарушены, необходимо перейти к составлению и вычислению определителя, соответствующего i=2:

Как и следовало ожидать, повторная проверка устойчивости данной системы дает тот же результат – система устойчива. Очевидно, что для этой системы проще оценивать устойчивость по расположению корней характеристического уравнения. Но для систем более высокого порядка использование критерия Шур-Кона может быть эффективным, поскольку задача составления определителей при их кажущейся громозкости легко формализуется и решается с использованием ЭВМ.