
- •Лекции по курсу
- •1. Общие сведения
- •1.1 Типы квантования непрерывных сигналов.
- •1.2. Решетчатые функции разностные уравнения.
- •1.3. Обобщенная структурная схема дискретной системы.
- •1.4. Простейший импульсный элемент. Формирующий элемент. Фиксатор.
- •2. Основы теории z-преобразования
- •2.1. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование.
- •2.2. Основные теоремы z-преобразования.
- •2.3. Передаточная функция разомкнутой дискретной системы.
- •2.4. Последовательное соединение звеньев в дискретных сау.
- •2.5. Передаточная функция замкнутой дискретной системы.
- •2.6. Обратное z-преобразование.
- •3. Анализ устойчивости и точности
- •3.1 Прямой метод оценки устойчивости.
- •3.2 Критерий устойчивости Шур-Кона.
- •3.3 Критерий устойчивости, использующий билинейное преобразование.
- •3.4. Абсолютно устойчивые системы.
- •3.5. Анализ точности дискретных систем.
- •4. Частотные характеристики дискретных систем
- •4.1. Теорема Котельникова-Шеннона.
- •4.2. Логарифмические частотные характеристики дискретных сау.
- •5. Определение реакции дискретной сау
- •5.1. Метод дробного квантования.
- •5.2. Метод модифицированного z-преобразования.
- •6. Системы автоматического управления
- •6.1. Структура системы.
- •6.2. Передаточные функции цву, реализующего типовые законы управления.
- •7. Коррекция цифровых систем управления
- •7.1. Коррекция дискретных сау с помощью непрерывных регуляторов.
- •7.2. Коррекция сау с помощью цифровых регуляторов.
- •7.3. Физическая реализуемость цифровых регуляторов.
- •7.4. Реализация цифровых регуляторов импульсными фильтрами.
- •7.5. Реализация цифровых регуляторов на базе цву.
- •8. Методические указания и вариаты расчетно-графического задания
- •90 20 0 0 -90 -20 -180 -40 -270 -60 20 2 1
2. Основы теории z-преобразования
2.1. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование.
С учетом (5) можно определить изображение по Лапласу входной величины ПИЭ:
.
Поскольку
при всехt, отличных
от
,
окончательно имеем
,
(11)
где D{…}
– символдискретного преобразования
ЛапласаилиD-преобразования.
Следовательно, непрерывное преобразование
Лапласа (L-преобразование)
модулированной последовательности-
функций равно дискретному преобразованию
Лапласа (D-преобразованию)
соответствующей решетчатой функции:
.
Наличие экспоненциальных членов в D-изображениях и связанная с этим необходимость оперировать трансцендентными уравнениями и передаточными функциями несколько усложняет использованиеD- преобразования.
Если в
(11)
заменить наz, то
получим формулу так называемогоZ-преобразованиядля дискретных значений сигнала:
(12)
где комплексные переменные pиzсвязаны между собой следующим образом:
(13)
Следует отметить, что согласно (12) Z-изображение представляет собой сумму членов бесконечного ряда. Если возможно, то необходимо преобразовывать его в компактную форму.
Рассмотрим несколько примеров определения Z-изображений для различных типов сигналов.
Пример 3.
Необходимо найти Z-изображение
выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал
которого – экспоненциальная функция
.
Следуя
рассмотренной выше методике, необходимо,
в первую очередь, найти решетчатую
функцию, соответствующую
.
Выполнение этой операции сводится к
формальной замене непрерывного аргументаtв функции
на дискретное время
.
В рассматриваемом примере:
.
Следующий этап – нахождение дискретного преобразования Лапласа приведенной решетчатой функции. С учетом (11) имеем:
.
Применяя формулу суммы членов бесконечно убывающей прогрессии, получаем:
.
Переход к Z– изображению осуществляем на основании (13):
.
(14)
Пример 4.
Необходимо найти Z-преобразование
выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал
которого – единичная ступенчатая
функция.
Искомое изображение определим
непосредственно по формуле (12):
(15)
Аналогичный
результат может быть получен, если в
(14) перейти к пределу при
.
Пример 5.
Необходимо найти Z-преобразование
функции.
Соответствующая
решетчатая функция
.
На основании (12) имеем:
.
Умножая обе
части этого выражения на
,
получим:
.
Вычтем последнее выражение из предыдущего:
.
Следовательно
.
(16)
Рассмотрим
иной метод выполнения Z-преобразования,
который предполагает использование
непрерывногоL-изображения
сигналавместо решетчатой функции
и ееD-изображения.
Для случая, когда изображение
имеет
конечное число простых полюсов, оно
может быть представлено в виде:
,
где p
– i-й простой полюс
изображения;k– порядок полинома
Осуществим замену и преобразуем последнее выражение к виду:
(17)
Пример 6. Используя формулу (17), необходимо найти Z-изображение экспоненциального сигнала (см. пример 3) непосредственно по егоL- изображению.
Зная, что
,
можно записать:
Тогда
Как и следовало ожидать, полученный результат совпадает с (14).
Согласно
(12)
определяется только величинами дискрет
решетчатой функции
и абсолютно не учитывает поведение
непрерывного сигнала
между моментами квантования. Тем не
менее, для обозначения операцииZ-преобразования наряду
с
в дальнейшем используются выражения
вида
или
.
Эта формальная запись означает только
то, чтоZ-преобразование
осуществляется по решетчатой функции,
полученной путем квантования непрерывного
сигнала
,
обладающегоL-изображением
.
Для наиболее
часто встречающихся функций
существуют таблицыZ-изображений,
достаточно подробные таблицы приведены
в [2,11].