Г.М. Гринфельд

Лекции по курсу

“ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ”

Комсомольск-на-Амуре 2003

1. Общие сведения

1.1 Типы квантования непрерывных сигналов.

Наряду с непрерывными системами автоматического управления (САУ) широкое применение находят системы, в которых имеет место дискретный способ передачи и преобразования дискретных сигналов. Процесс преобразования непрерывных сигналов в дискретные называется квантованием. Дискретность сигналов может быть обусловлена их квантованием по времени, по уровню или одновременно по уровню и по времени. По этому признаку дискретные системы подразделяются на три вида.

1. В импульсных системахв результатеквантования по временинепрерывного сигналаформируется последовательность его дискретных значений (дискрет), соответствующих фиксированным моментам времени. Обычно эти моменты отстоят друг от друга на постоянную величину, называемуюинтервалом квантования по времени(рис. 1). При этом сформированную последовательность дискрет принято называтьрешетчатой функциейцелочисленного аргумента. Очевидно, что различным непрерывным сигналам может соответствовать одна и та же решетчатая функция (рис. 2). В тоже время при заданном интервале квантованиякаждой функциисоответствует единственная решетчатая функция. В общем случае квантование сигнала по времени сопровождается потерей информации, так как решетчатая функцияне передает характер изменения непрерывного сигнала между моментами квантования.

Рис.1. Квантование непрерывного сигнала Рис.2. К определению решетчатой

в импульсной системе функции

2. В отличие от квантования по времени, квантование по уровнюможет происходить в произвольные моменты времени, которым соответствует достижение непрерывного сигналазаранее фиксированного уровня (рис. 3). Системы с таким типом квантования называютсярелейными.

3. Система, в которой имеет место квантование по уровню, и по времени, относятся к цифровым САУ (рис. 4).

Если величина интервала квантования много меньше диапазона изменения сигнала , дискретностью по уровню можно пренебречь и тем самым свести цифровую систему к импульсной. Допустимость такой замены позволяет существенно упростить математическое описание дискретных систем. В дальнейшем под дискретными САУ в данном курсе подразумеваются только импульсные системы.

Рис.3. Квантование непрерывного сигнала Рис.4. Квантование непрерывного сигнала

в релейной системе по времени

(- интервал квантования по уровню)

1.2. Решетчатые функции разностные уравнения.

Очевидно, что для получения математического выражения, описывающего решетчатую функцию , необходимо в выражении длявыполнить формальную замену непрерывного аргументаtна. Например, непрерывной функции

будет соответствовать решетчатая функция

.

Для решетчатой функции определены ее разности. Первая обратная разность равна

,

а первая прямая разностьопределяется выражением вида

.

Введем в рассмотрение прямую и обратную разности k-го порядка, которые определяются через разности (k-1)-го порядка по формулам:

;

соответственно. При управлении системой в реальном масштабе времени величина дискреты не может быть определена в текущий момент времени, поэтому технически реализуется только обратная разность. Разности решетчатых функций являются аналогами производных для непрерывных функций времени.

Операцией, обратной операции взятия разности, является суммирование решетчатой функции, в результате которого получаем новую решетчатую функцию:

.

Уравнение вида

,

в левой части которого записана комбинация решетчатых функций и ее разностей, называется разностным уравнением. Поскольку разность любого порядка может быть выражена в виде линейной комбинации значений решетчатой функции в различные моменты времени, для записи разностного уравнения используется следующая форма:

(1)

Любое разностное уравнение может быть разрешено относительно значения решетчатой функции от наибольшего аргумента

(2)

Очевидно, что (2) определяет рекуррентную процедуру численного решения разностного уравнения при известных начальных условиях .

Если комбинация решетчатых функций в (1) является линейной, то динамика дискретной системы описывается линейным разностным уравнением k-го порядка:

, (3)

в котором - постоянные числа, если система стационарна, а - известная решетчатая функция, описывающая входное воздействие. Общее решение уравнения (3) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения , полученного из (3) при , и частного уравнения , определяемого функцией :

. (4)

Первое слагаемое в (4), описывающее свободную составляющую движения системы, может быть представлено в виде:

,

где - простые корни характеристического уравнения:

,

а - коэффициенты, зависящие от начальных условий.