3. Показатели вариации в статистике

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности называется вариацией признака.

Средняя величина – это абстрактная обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности. Для характеристики совокупностей и исчисленных средних величин важно знать, какая вариация признака скрывается за средними. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются, в таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других случаях, наоборот, отдельные значения далеко отстоят от средней, и средняя плохо представляет совокупность. Колеблемость отдельных значений, степень их близости к средней характеризуют показатели вариации. Вариации присущи явлениям природы и общества. При этом революция в обществе происходит быстрее, чем аналогичные изменения в природе. Объективно существуют также вариации в пространстве и во времени.

Вариации в пространстве показывают различие статистических показателей относящихся к различным административно-территориальным единицам.

Вариации во времени показывают различие показателей в зависимости от периода или момента времени к которым они относятся.

При характеристике колеблемости признака применяют систему абсолютных и относительных показателей

а. Абсолютные показатели вариации.

Наиболее простой показатель вариации - размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (x_max) и наименьшим (x_min) значениями вариант

R = x_max- x_min

Этот показатель прост в вычислении и указывает на общие размеры вариации, но он не дает представления о степени колеблемости внутри совокупности, т.к. улавливает только крайние отклонения.

Различие всех единиц изучаемой совокупности учитывает среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней (без учета знака этих отклонений):

или

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии. Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической. Другими словами, это средний квадрат отклонений. Дисперсия  вычисляется по формуле:

или

Дисперсия является именованным показателем. Она измеряется в единицах соответствующих квадрату единиц измерения изучаемого признака.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю;

2. если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

3. если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число(i) раз, то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i² раз.

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение.Достоинством этого показателя является то, что он выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

или

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются основными обобщающими показателями вариации. Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше этот показатель, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.

б. Относительные показатели вариации

Относительные показатели вариации позволяют сравнивать характер рассеивания в различных совокупностях, например, при сравнении разноименных совокупностей, при различных значениях средней. Расчет относительных показателей вариации осуществляют как отношение абсолютного показателя вариации к средней арифметической. Как правило, они рассчитываются в процентах.

Коэффициент осцилляции отражает относительнуюколеблемость крайних значений вокруг средней .

Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины

Коэффициент вариации – наиболее распространенный показатель колеблемости, используемый для оценки типичности средней

Чем больше разброс значений признака вокруг средней, тем больше коэффициент вариации и тем менее представительна средняя. Как правило, считают, что если >33%, то это говорит о большой колеблемости признака в совокупности, и совокупность неоднородна.

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой вариация?

2. Чем характеризуется понятие «размах вариации»?

3. Что такое среднее линейное отклонение?

4. Что называется средним квадратическим отклонением?

5. Что представляет собой дисперсия и как она вычисляется?

6. Что называется коэффициентом вариации?