Пример 4

Балка с участками длиной а = 2,5 м, b = 2 м, с = 1,5 м нагружена распределённой нагрузкой q = 20 кН/м, сосредоточенной силой F = 30 кН и сосредоточенным изгибающим моментом М = 40 кН·м. Требуется:

1) определить реакции опор и построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М;

2) при значении допускаемого нормального напряжения [σ] = 150 МПа по максимальному изгибающему моменту определить размеры двутаврового квадратного круглого сечений;

3) зачертить сечения c в одном масштабе;

4) сравнить площади сечений с наименьшей площадью;

5) определить максимальные касательные напряжения для трёх указанных сечений.

Решение

1. Реакции опор

2. Эпюра поперечных сил:

на участке c суммируем силы слева от сечения: Q₁ = R_A = 15 кН;

на участке b суммируем силы слева от сечения: Q₂ = R_A = 15 кН;

на участке a суммируем силы справа от сечения:

3. Эпюра изгибающих моментов:

на участке c суммируем моменты сил слева от сечения

на участке b суммируем моменты сил слева от сечения

на участке a суммируем моменты сил справа от сечения

и результаты расчётов сводим в таблицу,

z3	0	0,25 a	0,5 a	0,75 a	a	l
M3	0	14,84	21,87	21,1	12,5	22,5

где l – координата z₃ сечения, в котором Q=0 и, следовательно, производная от изгибающего момента равноа нулю

4. Момент сопротивления при изгибе максимальным моментом М=22,5 кН·м.

По таблице сортамента выбираем двутаровое сечение №18а, у которого W_x = 159 см³, J_x =1430 см⁴, S_x^* = 89,8 см³, А = 26,4 см², h = 180 мм, b = 100 мм, d = 5,1 мм, t = 8,3 мм.

Сторона квадратного сечения

Диаметр круглого сечения

5. Сечение балки в масштабе 1:2

6. Площади сечений:

двутаврового (из таблицы сортамента) А_дв = 2540 мм²;

квадратного А_кв = h² = 9409 мм²;

круглого

наименьшая площадь у балки двутаврового сечения.

Отношение площадей поперечных сечений

7. Максимальные касательные напряжения от наибольшей поперечной силы Q = 30 кН в сечениях:

двутавровом

квадратном

круглом

Задача 5

Реакции опор определяем, приравнивая нулю сумму моментов всех сил в данной плоскости относительно каждой опоры. При правильном решении сумма проекций на плоскость сечения всех сил в каждой плоскости равна нулю. Изгибающие и крутящие моменты находим по методу сечений, учитывая правила знаков.

Пример 5

Вал нагружен в горизонтальной плоскости силами F_t = 6450 Н, F_M = 2750 Н, в вертикальной плоскости силами F_r = 2400 Н, F_a = 900 Н. Размеры l₁ = 80 мм, l₂ = 80 мм, l₂ = 160 мм, d₁ = 200 мм. Требуется:

1) определить реакции опор и построить эпюры изгибающих моментов М в горизонтальной и вертикальной плоскостях;

2) построить эпюру крутящих моментов Т.

РЕШЕНИЕ

1. Реакции опор в горизонтальной плоскости

2. Реакции опор в вертикальной плоскости

3. Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости:

на участке l₃ в пределах изменения z₁ от 0 до l₃

на участке l₂ в пределах изменения z₂ от l₃ до (l₃+l₂)

на участке l₁ в пределах изменения z₃ от 0 до l₁

4. Эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости:

на участке l₃

на участке l₂

на участке l₁

на границе участков l₁ и l₂ эпюра M_Y имеет скачок, равный сосредоточенному моменту F_d·d₁/2.

5. Крутящий момент на участках l₂ и l₃ определяем из условия равновесия вала

Задача 6

Расчетную схему балки располагаем в прямоугольной системе координат XYZ. Начало координат помещаем в заделке, ось Z направляем по оси балки, а ось Y - в плоскости изгиба балки. Составляем дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, после двукратного интегрирования, которого получаем уравнения для вычисления углов поворота θ=Y' и прогибов Y. Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления (граничных условий) балки.

Пример 6

Определить прогиб Y и угол поворота θ сечения конца консольной балки длиной l = 1 м круглого сечения диаметра d = 40 мм, нагруженной распределённой нагрузкой q = 200 Н/м, сосредоточенной силой F = 110 Н и изгибающим моментом М = 40 Н·м. Материал балки – сталь с модулем продольной упругости Е = 2·10⁵ МПа.

РЕШЕНИЕ

1. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки большой жест кости имеет вид

где Y'' - кривизна оси балки в плоскости изгиба на расстоянии z от заделки;

M_Z- изгибающий, момент на расстоянии Z от заделки;

Е - модуль продольной упругости материала балки;

J_X - момент инерции сечения балки относительно оси перпендикулярной к плоскости изгиба.

2. Изгибающий момент в сечении z равен

следовательно, дифференциальное уравнение оси изогнутой балки принимает вид

(1)

3. Интегрируя уравнение (1), получаем

(2)

При z = 0 по условиям закрепления балки (жёсткая заделка) угол поворота сечения Y´ = 0, тогда С₁ = 0.

4. Момент инерции круглого сечения балки

5. Угол поворота сечения на конце балки находим из уравнения (2) при z = l

6. Интегрируем уравнение (2)

(3)

При z = 0 имеем Y = 0, тогда С₂ = 0.

7. Прогиб конца балки находим из уравнения (3) при z = l

3. ЗАДАНИЯ НА РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Задача 1

Ступенчатый стержень нагружен силами, направленными вдоль его оси. Материал стержня - сталь с модулем продольной упругости Е = 2·10⁵ МПа. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и продольных перемещений δ сечений стержня.

Исходные данные приведены в табл.1.1 и 1.2.

Таблица 1.1

Данные для стержней

Варианты	Параметры
	а	b	c	А1	A2	F1	F2	F3
	м			см2		кН
1	0,2	0,3	0,4	4	7	20	30	40
2	0,4	0,3	0,5	8	12	50	60	40
3	0,3	0,4	0,5	3	7	30	20	15
4	0,5	0,4	0,4	4	8	40	25	50
5	0,6	0,4	0,3	5	8	50	35	45
6	0,7	0,3	0,4	10	15	70	40	70
7	0,2	0,5	0,2	4	9	40	З0	50
8	0,3	0,6	0,2	6	11	15	50	30
9	0,4	0,6	0,2	4	7	25	40	50
10	0,5	0,2	0,4	3	5	35	15	60
11	0,3	0,5	0,4	5	9	50	70	30
12	0,6	0,3	0,2	12	16	80	40	70
13	0,8	0,4	0,6	7	10	20	60	30
14	0,2	0,4	0,4	3	6	50	40	20
15	0,5	0,5	0,3	6	9	70	20	50
16	0,4	0,2	0,6	4	6	45	25	40
17	0,7	0,5	0,4	5	11	25	60	30
18	0,6	0,2	0,4	10	12	75	20	30
19	0,2	0,4	0,6	2	10	36	30	40
20	0,3	0,4	0,5	7	9	45	25	40

Таблица 1.2

Расчётные схемы стержней

Продолжение табл. 1.2.

Задача 2

Абсолютно жёсткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и поддерживается двумя стержнями, прикреплёнными шарнирно. Определить продольные силы и нормальные напряжения в стержнях от действия на брус силы F без учёта веса.

Исходные данные приведены в табл. 2.1 и 2.2

Таблица 2.1

Данные для расчёта стержней

Варианты	Параметры
	а	b	c	l1	l2	А1	A2	F
	м					мм2		кН
1	2	1	1	2	1	80	60	60
2	1,8	0,8	1	2,2	0,9	70	70	50
3	1,6	1,2	1	2,4	1	60	60	40
4	1,9	1,5	1	1,8	0,8	100	100	50
5	2,2	1,3	0,8	3	1	140	140	45
6	2,4	0,9	1,1	2,5	1	90	90	55
7	1,7	0,7	0,8	1,5	1	100	100	75
8	2	1,2	0,6	2	0,7	120	120	65
9	1,5	1,1	0,9	1,7	1,2	70	70	40
10	1,6	1	0,8	2,3	1,1	90	90	50
11	2	1,4	0,7	1,9	1	110	110	70
12	2,3	1	1	1,6	0,9	140	140	90
13	1,5	0,8	0,7	1,8	1	105	105	60
14	2,4	1,1	1,1	2,2	1,5	115	115	80
15	2,1	1,3	1,2	1,6	0,8	80	80	90
16	1,6	1,2	0,6	2,1	1,2	110	110	110
17	2,3	1,1	1,3	1,7	1,4	140	140	60
18	1,8	1	0,8	2,3	1,5	90	90	70
19	2	1	0,6	1,9	0,9	130	130	50
20	2	0,8	1,2	2,4	1	120	120	65

Таблица 2.2

Расчётные схемы стержней

Продолжение табл. 2.2.

Задача 3

К стальному валу круглого сечения приложены четыре крутящих момента. Модуль сдвига стали G = 8·10⁴ МПа. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов Т_к;

2) при заданном значении допускаемого касательного напряжения [τ] определить диаметр вала D из расчета на прочность по наибольшему крутящему моменту; округлить величину D до ближайшего большего значения, оканчивающегося на 0 или 5 мм;

3) построить эпюру углов поворота φ сечений вала относительно заделки.

Исходные данные приведены в табл.3.1 и 3.2

Таблица 3.1

Данные для вала

Варианты	Параметры
	a	b	c	d	T1	T2	T3	T4	[τ]
	м				кН·м				Мпа
1	0,8	1	1,5	1,2	1,1	1,6	0,8	1	40
2	1	0,8	1,2	1,5	1,6	1	0,8	1,4	60
3	1,3	1	1,5	0,8	1,3	0,7	1,5	1,1	75
4	1,5	1,2	1,4	1	2	1,4	0,6	1,3	45
5	1,5	1,8	2	1,6	1,8	1	1,3	0,6	55
6	1,8	1,4	1,2	1	1,4	1,6	0,9	1,2	65
7	1	1,8	1,2	1,5	1,7	0,8	1,1	0,6	50
8	1,7	0,9	1,4	1,1	1,5	1,2	0,7	1,1	35
9	1,2	1,7	1,5	1	1,2	1,7	1,1	0,9	70
10	0,9	1,5	1,6	1,2	2	0,9	1,3	0,7	55
11	1,6	1,2	1,4	1,7	1,9	1,2	0,5	1,4	80
12	1,5	1	1,3	1,4	0,9	0,8	1,5	1,1	50
13	0,4	0,6	0,8	1	1,6	0,8	1,2	0,6	75
14	1,5	1	2	1	0,8	1,5	1,2	1	65
15	1,2	1,5	0,8	1	1	1,4	0,8	0,6	60
16	1,6	1,2	1,4	1	1,9	0,9	0,5	1,4	55
17	0,9	1,2	1,3	1,7	2	0,9	1,5	0,7	75
18	1,5	0,6	2	1,5	1,7	1,2	1,1	1,4	65
19	0,4	0,8	0,6	1,2	0,5	1,3	0,7	0,9	70
20	0,6	0,8	0,4	0,9	0,7	0,9	0,5	1,3	80

Таблица 3.2

Расчётные схемы вала

Продолжение табл. 3.2

Задача 4

Балка нагружена распределённой нагрузкой q, сосредоточенной силой F и сосредоточенным изгибающим моментом М. Требуется:

1) определить реакции опор и построить эпюры поперечных сил Q и

изгибающих моментов М;

2) при заданном значении допускаемого нормального напряжения [σ] по максимальному изгибающему моменту определить размеры двутаврового, квадратного и круглого сечений;

3) начертить сечения в одном масштабе;

4) сравнить площади сечений с наименьшей площадью;

5) определить максимальные касательные напряжения для трех указанных сечений.

Исходные данные приведены в табл.4.1 и 4.2

Таблица 4.1