4. Метод узловых потенциалов

1. Схема содержит 6 ветвей ( m_t=6 ) и 4 узла ( n_y=4)

2. Достаточное количество уравнений для расчёта цепи по методу узловых потенциалов определим числом уравнений по I закону Кирхгофа: N=n_y-1=3

Примем потенциал одного из узлов φ₂=0

Так как ветвь 2-3 содержит источник ЭДС с нулевым сопротивлением => φ₃=0,5. Значит, по методу узловых потенциалов будет 2 уравнения.

3. Расчётные уравнения для определения потенциалов φ₁ и φ₅

Узел 5: φ₅(1/R₁+1/R₇+1/R₆)- φ₃/R₆- φ₁/R₁=E₇/R₇

Узел 1: φ₁(1/R₇+1/R₂+1/(R₄+R₅)- φ₅/R₇- φ₃/(R₄+R₅)=-E₇/R₇-I_k

После подстановки в систему числовых значений (Решаем систему в среде MathCad):

0,543φ₅-0,2φ₁=0,1714

0,486φ₁-0,2φ₅=-0.0886

4. Решая систему относительно неизвестных потенциалов φ₁ и φ₅ находим:

φ₁=-0,062

φ₅=0,293

По закону Ома выражаем токи:

I₁= (φ₂-φ₅₎ / R₁ = - 0,293 / 5 = - 0.059

I₂=(φ₁-φ₂₎ / R₂ = - 0,062 / 7 = - 0,0088

I₄₅=(φ₁-φ₃₎ / (R₄+R₅) = -0,062 – 0, / 7 = - 0,08

I₆=(φ₃-φ₅₎ / R₆ = ( 0,5 – 0,293 ) / 7 = 0,0295

I₇=(φ₁-φ₅+E₇₎ / R₇ = ( -0,062 - 0,293 + 0,5 ) / 5 = 0,029

5. Ток I₃ c источником E₃ найдём по I закону Кирхгофа для узла 2: I₂-I₁-I₃=0 => I₃ = - I₁+I₂

I₃ = -( - 0,059 ) + ( - 0,0088 ) = 0.0052

5. Метод наложения ( суперпозиции )

Необходимо определить ток I₃

Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях цепи. Определяем частичные токи от действия каждого источника в отдельности ( Полученные системы решаем в среде MathCad)

1. Частичный ток I₃ будем определять по законам Кирхгофа

I закон Кирхгофа :

Узел 1: -I`<sub>7</sub>-I`₂-I`<sub>45</sub>=0 -I`₇-I`<sub>2</sub>-I`₄₅=0

Узел 2: I`<sub>2</sub>-I`₁-I`<sub>3</sub>=0 I`₂-I`<sub>1</sub>-I`₃=0

Узел 3: I`<sub>3</sub>+I`₄₅-I`<sub>6</sub>=0 I`₃+I`<sub>45</sub>-I`₆=0

II закон Кирхгофа 

I контур: -I`<sub>45</sub>(R<sub>4</sub>+R<sub>5</sub>)+I`₂R₂=0 -7I`<sub>45</sub>+7I`₂=0

II контур: I`<sub>7</sub>R<sub>7</sub>-I`₁R₁-I`<sub>2</sub>R<sub>2</sub>=E<sub>7</sub> 5I`₇-5I`<sub>1</sub>-7I`₂=0,5

III контур: I`<sub>1</sub>R<sub>1</sub>-I`₆R₆=0 5I`<sub>1</sub>-7I`₆=0

Из системы получим : I’₃=0.00365

2. I закон Кирхгофа :

Узел 1: -I``<sub>7</sub>-I``₂-I``45-I<sub>k</sub>=0 -I``₇-I``<sub>2</sub>-I``₄₅=0,06

Узел 2: I``<sub>2</sub>-I``₁-I``<sub>3</sub>=0 I``₂-I``<sub>1</sub>-I``₃=0

Узел 3: I``<sub>3</sub>+I<sub>k</sub>+I``₄₅-I``<sub>6</sub>=0 I``₃+I``<sub>45</sub>-I``₆=-0.06

II закон Кирхгофа 

I контур: -I``<sub>45</sub>(R<sub>4</sub>+R<sub>5</sub>)+I``₂R₂=0 -7I``<sub>45</sub>+7I``₂=0

II контур: I``<sub>7</sub>R<sub>7</sub>-I``₁R₁-I``<sub>2</sub>R<sub>2</sub>=0 5I``₇-5I``<sub>1</sub>-7I``₂=0

III контур: I``<sub>1</sub>R<sub>1</sub>-I``₆R₆=0 5I``<sub>1</sub>-7I``₆=0

Из системы получим : I``₃= -0,032

3. I закон Кирхгофа :

Узел 1: -I```<sub>7</sub>-I```₂-I```<sub>45</sub>=0 -I```₇-I```<sub>2</sub>-I```₄₅=0

Узел 2: I```<sub>2</sub>-I```₁-I```<sub>3</sub>=0 I```₂-I```<sub>1</sub>-I```₃=0

Узел 3: I```<sub>3</sub>+I```₄₅-I```<sub>6</sub>=0 I```₃+I```<sub>45</sub>-I```₆=0

II закон Кирхгофа 

I контур: -I```<sub>45</sub>(R<sub>4</sub>+R<sub>5</sub>)+I```₂R₂=E₃ -7I```<sub>45</sub>+7I```₂=0,5

II контур: I```<sub>7</sub>R<sub>7</sub>-I```₁R₁-I```<sub>2</sub>R<sub>2</sub>=0 5I```₇-5I```<sub>1</sub>-7I```₂=0

III контур: I```<sub>1</sub>R<sub>1</sub>-I```₆R₆=-E₃ 5I```<sub>1</sub>-7I```₆=-0,5

Из системы получим : I```₃=0,078

Рассчитываем действительный ток I₃ как сумму токов, полученных методом наложения

I₃=I`₃+I``₃+I```₃

I₃=0,00365-0,032+0,078≈0,05