Глава 1 Теоретические сведения о пространственных телах

1.1.Понятие и свойства многогранников

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника.По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани,называется диагональю многогранника.

История открытия многогранника уходит корнями в древние времена. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне [13].

Многогранник является пространственной фигурой (пространственным телом).Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранники изучаются в разделе стереометрия. Раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства пространственных фигур. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять [19].

Примерами многогранников являются:

Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов.У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.Частный случай параллелепипеда и призмы. Куб имеет 12 ребер, 6 граней, 8 вершин [3].

Параллелепипед — многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов.Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Диагональю параллелепипеда, как и многогранника, вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани [3].

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого грани— прямоугольники.Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три измерения [3].

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники [3].

Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям [3].

Призма — многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.Многоугольники, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. Боковые рёбра призмы равны и параллельны. Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы [3].

Прямая призма — называется, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.Боковыми гранями являются прямоугольники.Боковое ребро прямой призмы является её высотой [3].

Правильная призма — прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники [3].

Пирамида — многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром[3].

Правильная пирамида — пирамида, в основании которой правильный многоугольник и все боковые рёбра которой равны [16]. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой [3].

Тела Платона - многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково[3]. К ним относятся:

Тетраэдр(огонь) - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра.Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников [3].

Октаэдр(воздух) - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.Правильный октаэдр двойственен кубу. Он является полным усечением тетраэдра. Правильный октаэдр является квадратной двойственной пирамидой в любом из трёх ортогональных направлений. Он также является треугольной антипризмой в любом из четырёх направлений.Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр [3].

Гексаэдр(земля) - правильный шестигранник. Это куб, состоящий из шести равных квадратов [3].

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра) [3].

Икосаэдр(вода) - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм [3].

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторонуот плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпуклые многогранники.Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Легко можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360° [1, с. 60].

Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер[1, с. 60].

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы[22].

Так же многогранник делится на правильный и не правильный. Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Правильные многогранники известны с древнейших времён.В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал[3]. Существует и полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся, архимедовы тела.

Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у не звёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами).Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам [3].

Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (Платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами [3].

В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера — Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо [2].

Полуправильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон [3].

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.

Свойства многогранников:

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти [13].

Не все перечисленные виды многогранников изучаются и применяются в начальной школе. Чаще всего ученики на уроках математики знакомятся с кубом, многоугольником, пирамидой, цилиндром, параллелепипедом. Примером авторов учебников являются ИстоминаА.И. 3 класс, Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. 3 класс, Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. 3 класс; так же начинают, знакомятся во 2 классе это пример учебников Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н. 2 класс.

Таким образом, рассмотрели понятия многогранника и его свойства. Перечислили виды многогранника. Ознакомились с историей открытия многогранника. Установили, что многогранники имеют большое значение в природе и для человека. Так, например, многогранники применяются в конструировании.