3. Управляемость и наблюдаемость линейной стационарной системы

Рассмотрим линейную систему уравнений:

Управление заключается в создании управляющей функции U(t), при которой входные переменные воспроизводят некоторую заданную функцию времени. В задачах управления необходимо иметь возможность достигать требуемого изменения всех координат состояния. Возникает вопрос об условиях, выполнение которых гарантируют реализацию такого управления, а так же о возможности наблюдения результатов этого управления.

Понятия управляемости и наблюдаемости связанно со структурой матриц A, B и C.

Для линейной стационарной системы Р. Кальман сформулировал теоремы.

Теорема. Система (*) является полностью управляемой, если матрица управляемости K₁ размерности (n x nm) имеет ранг n. Где K₁ является составной матрицей:

Ранг матрицы – это максимальный порядок определителя, полученного путем вычеркивания нулевых строк.

Если ранг матрицы K₁=0, то система полностью неуправляема.

Если ранг >0, но <n, то система управляема не полностью, в этом случае можно видеть часть, которая управляема.

Если мы можем, меняя x изменить U, то система полностью управляема.

С понятием управляемости тесно связанно понятие наблюдаемости.

При анализе СУ необходимо ответить на вопрос: можно ли определить значение координат состояния, относящихся к прошлому по результатам наблюдения за выходными переменными. Система является полностью наблюдаемой на интервале времени 0< t <t₁, если все ее координаты в начальном состоянии x(0) в момент наблюдения могут быть определены на основании наблюдения (изменения) выходных переменных y(t) в течение времени. Если можно определить часть координат в начальном состоянии, то система не полностью наблюдаема.

Теорема. Система (*) является полностью наблюдаемой, если ранг матрицы наблюдаемости K₂=n (т.е. порядку системы).

Модели линейных систем

Для описания линейных систем могут применяться несколько способов:

• дифференциальные уравнения;

• модели в пространстве состояний;

• передаточные функции;

• модели вида «нули-полюса».

Первые два способа называются временными, поскольку описывают поведение системы во временной области и отражают внутренние связи между сигналами. Передаточные функции и модели вида «нули-полюса» относятся к частотным способам описания, так как непосредственно связаны с частотными характеристиками системы и отражают только вход-выходные свойства (то есть, описывают динамику не полностью).

Частотные методы позволяют применять для анализа и синтеза алгебраические методы, что часто упрощает расчеты. С другой стороны, для автоматических вычислений более пригодны методы, основанные на моделях в пространстве состояний, поскольку они используют вычислительно устойчивые алгоритмы линейной алгебры.

Исходные уравнения динамики объектов, которые строятся на основе законов физики, имеют вид нелинейных дифференциальных уравнений. Для приближенного анализа и синтеза обычно проводят их линеаризацию в окрестности установившегося режима и получают линейные дифференциальные уравнения.

Линейное уравнение можно записать в операторной форме

или

где – входной сигнал, – сигнал выхода, – оператор дифференцирования, и – операторные полиномы.

Передаточная функция линейной стационарной системы от комплексной переменной определяется как отношение преобразования Лапласа выхода к преобразованию Лапласа входа при нулевых начальных условиях

Передаточная функция звена, которое описывается приведенным выше уравнением, равна

,

то есть, совпадает с отношением операторных полиномов при замене переменной на .

Нулями называются корни числителя, полюсами – корни знаменателя.

1 В зарубежной литературе для одномерных систем используется сокращение SISO = Single Input Single Output.