2.1 Методики составления математических моделей
При составлении математической модели САУ представляется в виде совокупности элементов, которые рассматриваются с точки зрения их динамических свойств. При этом элементы (звенья) рассматриваются самостоятельно. В общем случае элементы или звенья системы могут быть устройствами любой физической природы и назначения.
Методика построения математической модели каждого конкретного элемента СУ, включая объект управления, является предметом изучения соответствующих наук.
Рассмотрим общие принципы: существуют два принципиально разных подхода к составлению математической модели:
Теоретический.
Эмпирический.
Теоретический
При этом подходе математическая модель строится на основании общих законов, которыми описываются процессы в звене. Эти законы записываются с помощью системы уравнений, связывающей входные переменные, а именно управляющие и возмущающие воздействия, с выходными. Обычно это уравнения баланса массы, энергии, количества движения.
В таком варианте математическая модель получается в виде системы неоднородных нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющей общего решения. При этом исходная математическая модель очень сложна для анализа, т.к. существуют только частные решения, и провести обобщение практически невозможно.
Иногда задачу интегрирования нелинейных уравнений удаётся свести к более простой задаче: решение линейных дифференциальных уравнений. Достаточным условием для проведения линеаризации является отсутствие неразрывных, неоднозначных функций.
Линеаризация основана на положении, что непрерывная и имеющая все производные в окрестности некоторой точки функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням малых отклонений элемента:
Если отклонение аргумента U мало, то можно ограничится первыми линейными членами разложения и рассматривать вместо нелинейной функции x=f(u) линейную. Опуская символ приращения , получим:
,
где
k – коэффициент усиления звена.
В результате линеаризации получим линеаризованную математическую модель, которую обычно называют линейной математической моделью звена или системы.
В зависимости от необходимой точности можно брать различные U, но на практике встречаются случаи, когда линеаризацию провести нельзя. Обычно это связанно с наличием в системе элементов с зонами нечувствительности, насыщения, ограничениями по положению и скорости, а так же релейных элементов. В этих случаях используют нелинейную модель, а при анализе и синтезе специальные методы.
Эмпирический
При построении эмпирической модели не обязательно знать природу процессов, протекающих в звене, достаточно иметь сведения об их внешних проявлениях. Достаточно исследовать реакции выходных переменных на известные входные воздействия. В результате выбирается общий вид функциональной зависимости между входным и выходным воздействием, затем определяются численные коэффициенты или параметры модели.
Ограничения:
решение задачи основано на конкретном
эксперименте, что делает невозможным
применение к другим системам.