4.1. Независимые испытания. Формула Бернулли

Испытание – это осуществление определённых условий, в результате которых может произойти то или иное элементарное событие пространства E. Если число исходов испытания - m, то назовём событие  i-м исходом . Обозначим и будем считать, что все

события образуют полную группу событий, тогда

Пусть произведено n испытаний.

Определение 1. Если исходы испытания в каждом опыте не зависят от предыдущих исходов, то испытания называются независимыми.

Например, при бросании игральной кости, исходы: выпало одно, два очка и т.д. не зависят от предыдущих очков – испытания независимые.

Рассмотрим случай (схема Бернулли). Положим , т.е. .

Рассмотрим следующую задачу. Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с одной и той же вероятностью р. Требуется найти  вероятность того, что событие А появится k раз, а, значит, событие появится раз.

Рассмотрим в какой либо последовательности чередование событий А и так, чтобы А повторялось k раз, а событие появилось раз. Это событие . По теореме умножения вероятностей получаем

По теореме сложения вероятностей равна сумме таких вероятностей для всех различных способов появлений события А (k раз из п), т.е. их число . Поскольку все эти вероятности равны, то получаем формулу Бернулли

. (1)

Замечание 1. Так как все возможные исходы: событие А появилось 0 раз, 1 раз, … , п раз образуют полную группу событий, то

Пример 1. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0, 96. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.

Если  вероятность хотя бы одного попадания при двух выст-релах, то

тогда вероятность одного попадания и вероятность трёх попа-даний при четырёх выстрелах

4.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

При больших значениях n формулу (1) использовать затруднительно. Поэтому возникает вопрос о замене её некоторой асимптотической формулой, т.е. приближенной, справедливой при больших п.

Теорема 1. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при больших п приближенно равна значению функции

, где при . (2)