8.2. Распределение Пуассона

Пусть в схеме Бернулли производится n опытов, в которых вероятность появления события А мала, а n велико и .

Определение 2. СВ X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определённое значение k, выражается формулой

Пуассона , т.е. закон распределения имеет вид

X	0	1	…	k	…
p			…		…

Тогда .

Аналогично можно показать, что .

Пример 2. Автозавод отгрузил автомобилей. Вероятность повреждения автомобиля при транспортировке . Определить веро-ятность того, что автомагазин получит повреждённых автомобиля.

Вначале определим математическое ожидание .

Тогда

8.3. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а, значит, вероятность непоявления события А равна . Испытания заканчиваются в момент появления события А. Следовательно, если событие А появилось в k-ом испытании, то в предыдущих k  1 испытаниях оно не появлялось, т.е. описываемое событие имеет вид .

Отсюда получим

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые необходимо провести до появления события А. Таким образом СВ Х может принимать только значения 1, 2, 3, …

Определение 3. СВ X распределена по геометрическому закону, если вероятность того, что она примет определённое значение k, выражается формулой , т.е. закон распределения имеет вид

X	1	2	3	…	k	…
p	p			…		…

Нетрудно убедиться, что сумма всех вероятностей, как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, равна

Тогда

Аналогично можно показать, что .

Пример 3. Студент может сдать экзамен по высшей математике с вероятностью 0,6. Определить вероятность того, что:

а) студент сдаст экзамен с третьей попытки;

б) студент сдаст экзамен за три попытки.

Имеем и вероятность того, что студент сдаст экзамен с третьей попытки

Вероятность того, что студент сдаст экзамен за три попытки

Вопросы для самоконтроля:

1. Назовите известные вам типы дискретных распределений и запишите соответствующие формулы для нахождения вероятностей и основных числовых характеристик.

Лекция № 9. Законы распределения НСВ (равномерный, показательный), их числовые характеристики (2ч).

Содержание лекции № 9:

9. Законы распределения непрерывных случайных величин