16.1. Корреляционная таблица
При большом числе наблюдений одно и то
же значение СВ Х
может встретиться
раз, одно и то же значение СВ Y
может встретиться
раз, а одна и та же пара чисел (х,
у) может
наблюдаться
раз. Поэтому данные наблюдений группируют,
т.е. подсчитывают частоты
,
,
.
Все сгруппированные данные записывают
в виде таблицы, которую называют
корреляционной.
Поясним ее строение на простом примере. Имеем таблицу:
-
Y X
1
2
3
4
5
1
6
4
10
0
1
4
6
11
1
5
9
5
19
2
3
7
10
3
12
10
15
10
В первой строке указаны наблюдаемые значения (1, 2, 3, 4, 5) случайной величины Х, а в первом столбце – наблюдаемые значения (1, 0, 1, 2) случайной величины Y. На пересечении строк и столбцов находятся частоты наблюдаемых пар значений СВ Х и Y. Например, частота 6 указывает, что пара чисел (4, 1) наблюдалась 6 раз. Все частоты помещены в прямоугольнике, стороны которого проведены жирными линиями.
В
последнем столбце записаны суммы частот
строк. Например, сумма частот второй
строки равна
это число указывает, что значение
случайной величины Y,
равное 0
(в
сочетании с различными значениями СВ
Х
),
наблюдалось 11
раз.
В
последней строке записаны суммы частот
столбцов. Например, сумма частот
четвертого столбца равна
это число указывает, что значение
случайной величины Х,
равное 4
(в
сочетании с различными значениями СВ
Y
),
наблюдалось 15
раз.
Общее
число наблюдений
16.2. Выборочный коэффициент корреляции
Ранее мы полагали, что значения Х и соответствующие им значения Y наблюдались по одному разу. На практике, безусловно, одна пара случайных величин (х, у) может наблюдаться любое число раз.
Поэтому формула для коэффициента регрессии (4) примет вид
(5)
где в сумме
учтено, что пара (х,
у) наблюдалась
раз, а
и
выборочные средние
квадратичные отклонения.
Умножим обе части равенства (5) на дробь
и назовем это выражение выборочным
коэффициентом корреляции
Тогда уравнение линейной регрессии Y на Х будет иметь вид
Замечание 2. Выборочный коэффициент корреляции является безразмерной оценкой коэффициента регрессии
Таким образом, основная задача
корреляционного анализа состоит в
оценке степени линейной связи между
случайными величинами Х и Y,
кото-рая устанавливается при помощи
выборочного коэффициента корреляции
Если
мал, то линейная связь считается слабой
и ее можно не принимать во внимание.
Если же коэффициент корреляции
близок к 1, то
линейная связь сильная и к ней следует
относиться практически как к функциональной.
В противном случае, связь считается
статистической. И, наконец, при
связь между случайными величинами Х
и Y имеет строго
линейный характер.
Вопросы для самоконтроля:
1. Определение корреляционной таблицы
2. Понятие выборочного коэффициента корреляции.
Лекция № 17. Обобщающая лекция по математической статистике (2ч)
Содержание лекции № 17:
Используя простую статистическую совокупность (результаты наблюдений):
Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограммы частот и относительных частот;
Изобразить на гистограмме относительных частот приближенный эскиз графика плотности распределения. Построить график статистической функции распределения.
Составить дискретный вариационный ряд, взяв за значения вариант середины интервалов, и построить полигоны частот и относительных частот.
Построить график статистической функции распределения, исходя из дискретного вариационного ряда.
Найти оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения.
Найти исправленные дисперсию и среднее квадратичное отклонение и сравнить их с выборочными (статистическими).
При заданном уровне значимости, пользуясь критерием согласия Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины.
Найти доверительные интервалы для математического ожидания нормально распределенной случайной величины.
Х – количество перегибов, которые выдерживает канатная проволока из стали диаметром 2,2 мм
-
19
21
13
19
21
29
30
27
12
13
13
12
35
15
22
23
28
21
14
20
25
18
16
20
30
18
15
22
20
25
32
20
19
21
23
12
24
18
18
27
23
24
33
13
20
19
24
20
11
16
20
17
28
16
22
25
16
22
26
21
20
15
24
16
18
27
24
12
21
14
24
17
18
24
31
22
17
14
14
23
22
18
26
24
24
22
20
19
23
24
23
13
22
18
16
14
18
21
24
22
Вопросы для самостоятельного изучения темы
1. Статистическая проверка статистических гипотез [2, 3 с. 206]
2. Моделирование (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карло [3, с.294].
Литература к теме 3: [1-5]