1.3.3. Язык логики предикатов, язык логики высказываний

Для логического анализа языковых выражений применяются специальные языки, прежде всего язык логики предикатов I порядка, наиболее полно выражающий структуру естественного языка.

Язык логики предикатов I порядка включает следующие символы:

1. p, q, r - пропозициональные переменные (обозначают отдельные высказывания)

2. a, b, c - индивидные константы (символы для единичных имен предметов)

3. x, y, z - индивидные переменные (им соответствует класс, множество предметов)

4. P¹, Q², R³ - предикатные переменные (символы для предикаторов, индекс обозначает местность)

5. ,  - символы кванторов (символы количественной характеристики высказываний)

6. , , , ↔,  а - логические термины (значение символов см. выше)

7. ( , ) - технические термины (скобки, запятая).

Индивидные константы и индивидные переменные определяются как термы.

Языковые выражения записываются в виде формул. Определение правильно построенной формулы (ППФ) логики предикатов первого порядка:

1. Всякая пропозициональная переменная p, q, r – есть ППФ.

2. Если t, … t_n – термы, а Aⁿ – n-местный предикатор, то выражение Aⁿ(t, …, t_n) – ППФ.

3. Если A и B – ППФ, а  - индивидная переменная, то выражения (A  B), (A  B), (A  B), (A ↔B),А,A, A – ППФ, где A, B,  - знаки метаязыка.

4. Ничто иное не является ППФ.

Примеры ППФ: P²(x,y); Q³(x,y,z); R¹(a); (p  q); (p  q);

Областью действия квантора () по переменной  в формуле A (A) является формула A. Если  находится в области действия квантора по переменной  или непосредственно следует за квантором, то вхождение переменной  в формулу называется связанным; в противном случае – свободным. Например, в формуле x(P¹(x)  R¹(x)) в первых двух вхождениях переменная связанная, в третьем – свободная.

Формулы логики предикатов первого порядка соответствуют предложениям естественного языка. Например, выражение “Все металлы электропроводны” может быть представлено как выражение “Для всякого х верно, что если х – металл (Р¹), то х – электропроводен(Q¹)” и записано в виде формулы х(Р¹(х)Q¹(x)). Соответственно, выражение “Некоторые студенты сдали зачет” записывается “Существует х, такой, что х является студентом (Р¹) и х сдал зачет(R¹) – x(P¹(x)R¹(х)).

Выражение “Все студенты изучают какой-либо иностранный язык”, можно записать так: хуР²(x,y) - “Для всякого х верно, что х находится в отношении Р к у, где Р – предикатор “знает”.

Язык логики высказываний представляет собой упрощение от языка логики предикатов первого порядка. В логике высказываний выделяются только высказывания и связки. Этот язык включает элементы 1, 6, 7 (скобки) языка логики предикатов первого порядка.

Определение правильно построенной формулы в языке логики высказываний:

1. p, q, r - являются правильно построенными формулами

2. Если A и B - правильно построенные формулы, то А  В, А  В, А ↔ В, А  В,  А - также правильно построенные формулы.

3. Ничто, кроме 1 и 2, не является ППФ.

Запись выражений на языке логики высказываний осуществляется посредством выделения элементарных предложений и связок между ними, их символического обозначения. Например, выражение “Если на улице дождь или холодно, то люди надевают плащи” может быть записано: (а в)→ с, где а – на улице дождь, в – на улице холодно, с – люди одевают плащи.