1. Начертательная геометрия

1.1. Точка

1.1.1. Проецирование точки на три плоскости проекций

Аппарат проецирования

Аппарат проецирования (рис. 1) включает в себя три плоскости проекций:

π₁ – горизонтальная плоскость проекций;

π₂ – фронтальная плоскость проекций;

π₃ – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π₁ π₂ π₃), а их линии пересечения образуют оси:

- пересечение плоскостей π₁ и π₂ образуют ось 0Х (π₁ ∩ π₂ = 0Х);

- пересечение плоскостей π₁ и π₃ образуют ось 0Y (π₁ ∩ π₃ = 0Y);

- пересечение плоскостей π₂ и π₃ образуют ось 0Z (π₂ ∩ π₃ = 0Z).

Рис. 1

Точка пересечения осей (ОХ∩OY∩OZ=0), считается точкой начала отсчета (точка 0).

Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.

Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 1 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I-ом октанте.

Проецирование ортогональное с центрами проецирования S₁, S₂ и S₃ соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S₁, S₂ и S₃ выходят проецирующие лучи l₁, l₂ и l₃. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

- А₁ – горизонтальная проекция точки А;

- А₂ – фронтальная проекция точки А;

- А₃ – профильная проекция точки А.

Точка в пространстве характеризуется своими координатами A(x,y,z). Точки A_x, A_y и A_z соответственно на осях 0X, 0Y и 0Z показывают координаты x, y и z точки А. На рис. 1 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.

Эпюр точки

Чтобы получить эпюр точки А (рис. 2), в аппарате проецирования (рис. 1) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х, до совмещения её с плоскостью π₂. Затем плоскость π₃ с проекцией точки А₃, вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z, до совмещения её с плоскостью π₂. Направление поворотов плоскостей π₂ и π₃ показано на рис. 1 стрелками. При этом прямые А₁А_х и А₂А_х станут располагаться на общем к оси 0Х перпендикуляре А₁А₂, а прямые А₂А_х и А₃А_х станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А₂А₃. Эти прямые в дальнейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.

Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.

На практике построение эпюра точки А(x_A, y_A, z_A) осуществляется по численным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последовательности (рис. 2). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.

1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А₁ на эпюре.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А₂ на эпюре.

Рис. 2

6. Через точку А₂ параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А_z.

7. На горизонтальной линии связи от точки А_z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение профильной проекции точки А₃ на эпюре.

Характеристика точек

Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.

Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проецирования, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерными признаками точек частного положения являются:

- метаматематический – одна, две или все численные значения координат равны нулю и (или) бесконечности;

- на эпюре – две или все проекции точки располагаются на осях и (или) располагаются в бесконечности.

Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка А на рис. 1 и 2.

В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскости π₃; координата y от плоскости π₂; координата z от плоскости π₁. Следует отметить, что знаки при численных значениях координат указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится.