1.5.3. Пересечение поверхностей
Задача. Построить линию пересечения двух тел и определить их видимость относительно друг друга.
В зависимости от типа пересекаемых поверхностей рассмотрим три основных случая пересекающихся поверхностей:
- пересечение многогранников;
- пересечение многогранника с поверхностью второго рода;
- пересечение поверхностей второго рода.
Варианты заданий приведены в табл. 12.
Пересечение многогранников.
По своей форме линия пересечения многогранников будет замкнутая пространственная ломаная, состоящая из отрезков прямых, по которым пересекаются плоскости граней. Точки излома будут принадлежать ребрам многогранников.
В общем случае решение задачи сводится к определению положения точек излома. Точки излома находятся как точки встречи прямых с плоскостями и (или) как точки пересечения пересекающихся прямых где в качестве плоскостей выступают грани, а в качестве прямых ребра многогранников.
Пример. Рассмотрим построение линии пересечения на примере шестигранной пирамиды SKLMNPR с трехгранной призмой ABCDEF (рис. 48).
Для ее построения необходимо выделить ребра и грани, участвующие в пересечении. Здесь это ребра пирамиды (SK, SL, SM, SN, SP, SR) и грани призмы (ABFE, EFCD). Кроме того, следует отметить, что ребра SK и SN пирамиды пересекаются только с ребром EF призмы.
Определение положения точек излома сводится к определению положения точек встречи прямых с плоскостями (точки 1, 2, 4 и 5) и точек пересечения пересекающихся прямых (точки 3 и 6).
В первом случае за плоскости принимают грани призмы, а за прямые – ребра пирамиды, через которые проводится вспомогательная проецирующая плоскость а. Во втором случае за прямые принимают пересекающиеся ребра многогранников.
При определении положения точек излома целесообразно выбирать направление их обхода по часовой или против часовой стрелки (в примере – по часовой стрелке), что позволяет избежать ошибок в построении линии пересечения тел.
Видимость линии пересечения определяется с помощью конкурирующих точек (на рис. 48 конкурирующие точки не показаны).
Пересечение многогранника с поверхностью второго рода. Пересечение поверхностей второго рода.
При пересечении многогранника с поверхностью второго рода линией пересечения будет пространственная ломаная, состоящая из дуг кривых, по которым поверхность второго рода пересекается с плоскостями граней. Точки излома будут принадлежать ребрам многогранника. А при пересечении поверхностей второго рода образуется пространственная кривая четвертого порядка.
Рис. 48
В каждом из этих случаев для определения линии пересечения поверхностей применяется способ секущих плоскостей, суть которого сводится к следующему (рис. 49). Обе заданные поверхности пересекают вспомогательной плоскостью - посредником а. Затем находят линии пересечения b* иb каждой из поверхностей с посредником а. Точки пересечения этих линий М и N принадлежат кривой пересечения поверхностей. Изменяя положение посредника набирают необходимое количество точек М и N, по которым строится кривая пересечения поверхностей.
В качестве посредников выбирают удобно расположенные плоскости - плоскости уровней.
Таблица 12
Исходные данные по теме «Пересечение поверхностей»
1
|
2
|
Продолжение табл. 12
3
|
4
|
Окончание табл. 12
5
|
6
|
Рассмотрим порядок построения линии пересечения на примере пересечения конуса с трехгранной призмой (рис. 50).
Рис. 49
Рис. 50
Решение данной задачи заключается в нахождении точек встречи ребер многогранника с поверхностью конуса. Для этого в качестве плоскости-посредника используется горизонтальная плоскость уровня а
Определение точек излома. Следует отметить, что точку встречи ребра т с поверхностью конуса можно определить как общую точку двух пересекающихся прямых, т.е. ребра т и образующей р(m2∩p2)=l2→l1, l3. Для получения других точек излома воспользуемся плоскостью-посредником α, которую проведем через грань, образованную ребрами k и п. Линией сечения конуса будет окружность радиуса r. Точки пересечения 4 и 5 этой окружности и ребер k и п являются точками излома линии пересечения поверхностей λ и μ, т.е. k1∩b1=51→52 и n1∩b1=41→42.
Определение точек дуг. Здесь следует обратить внимание на то, что дуга между точками излома 4 и 5 на плоскости проекций совпадет с линией сечения конуса с плоскостью-посредником а, т.к. плоскость а≡(k∩n).
Положения промежуточных точек для других дуг, например, 2 и 3, определяются как точки пересечения линий сечений поверхностей плоскостью-посредником а*. Количество промежуточных точек выбирается достаточным для построения дуги (не менее трех на одну дугу). В целях не затенения хода решения на рис. 50 показаны только две промежуточные точки 2 и 3.
После определения необходимого количества точек наносят линию пересечения поверхностей с учетом ее видимости. Для нанесения дуг целесообразно использовать лекало. Видимость линии пересечения определяется с помощью конкурирующих точек.
Особенностью определения точек для построения линии пересечение поверхностей второго рода является то, что вместо точек излома определяются характерные точки – точки пересечения очерковых образующих.