1.4.4. Определение точки встречи прямой с плоскостью
Определение точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения.
Эта позиционная задача (как и большинство других позиционных задач) решается с помощью вспомогательной плоскости. Пусть задана прямая n общего положения и плоскость α общего положения. Необходимо найти их точку пересечения К (рис. 36). Задача решается в следующей последовательности:
Рис. 36
- заданная прямая n заключается во вспомогательную плоскость β: nβ;
- строится прямая l пересечения заданной плоскости α со вспомогательной плоскостью β: l(1 2)= α∩β;
- построенная прямая l и заданная прямая n лежат в одной плоскости β, а значит будут пересекаться между собой: K=l∩n. Их общая точка K является общей для прямой n и плоскостей и β, а значит, является искомой точкой пересечения прямой n и плоскости α.
В качестве вспомогательной плоскости чаще всего используют проецирующие плоскости.
Рассмотрим пример решения задачи на комплексном чертеже (рис. 37).
Задана плоскость α(∆АВС) и прямая l. Определить точку встречи прямой с плоскостью и ее видимость относительно плоскости ограниченной треугольником ∆АВС: К=l∩α(∆АВС).
Решение. Заключаем прямую n во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость β, которую зададим горизонтальным следом β1 (горизонтальная проекция плоскости). Причем след β1 должен совпадать с горизонтальной проекцией прямой n1. Далее находим прямую l пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α. Сторона АВ пересекается с плоскостью β в точке 1, а сторона АС – в точке 2. Сначала отмечаем горизонтальные проекции точек 11 и 21, а затем с помощью вертикальных линий связи находим фронтальные проекции точек 12 и 22 соответственно на фронтальных проекциях сторон треугольника А2В2 и А2С2. Таким образом, плоскости пересекаются по прямой l(1 2). Теперь можно определить фронтальную проекцию К2 искомой точки. Она будет являться точкой пересечения фронтальных проекций построенной прямой l(1222) и заданной прямой n2. Горизонтальная проекция К1 определяется с помощью вертикальной линии связи на горизонтальной проекции прямой n1.
Рис. 37
Затем нужно определить видимость прямой n относительно плоскости α. Для определения видимости на необходимо воспользоваться горизонтально конкурирующими точками 2 и 3 (точка 2 лежит на стороне АС треугольника, а точка 3 – на прямой n). Видимость прямой на π2 определяем с помощью фронтально конкурирующих точек 4 и 5 (точка 5 лежит на стороне ВС, а точка 4 – на прямой n). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символами «↑» и «↓».
Варианты заданий приведены в табл. 7.
Определение точки встречи прямой общего положения с проецирующей плоскостью.
Постановка задачи. Пусть задана горизонтально-проецирующая плоскость α треугольником ∆АВС и прямая l общего положения (рис. 38). Необходимо определить точку встречи К прямой l с плоскость α: К =l∩α.
Решение. Проекция точки встречи К1 прямой l с плоскостью α однозначно определяется как точка пересечения вырожденной в прямую горизонтальной проекции плоскости с одноименной проекцией прямой: К1=l1∩α1(∆A1B1C1).
Рис. 38 Рис. 39
Недостающая фронтальная проекция точки встречи К2 находится по принадлежности точка К прямой l: Кl => К1l1.
Видимость прямой l относительно плоскости α определяется только для фронтальной плоскости проекций, т.к. на π1 обе проекции видны. Видимость определяется с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 2 (точка 2 лежит на стороне ВС треугольника, а точка 1 – на прямой l). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символом «↑».
В задачах, где используется фронтально-проецирующая плоскость, при определении точки встречи последовательность решения аналогична выше указанному, только в них известной является фронтальная проекция искомой точки.
Варианты заданий приведены в табл. 8.
Таблица 7
Исходные данные по темам «Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения»
1
|
2
|
3
|
4
|
Продолжение табл. 7
5
|
6
|
7
|
8
|
Продолжение табл. 7
9
|
10
|
11
|
12
|
Окончание табл. 7
13
|
14
|
15
|
16
|
Таблица 8
Исходные данные по темам: «Пересечение прямой с плоскостью – частные случаи»
1
|
2
|
3
|
4
|
продолжение табл. 8
5
|
6
|
7
|
8
|
продолжение табл. 8
9
|
10
|
11
|
12
|
продолжение табл. 8
13
|
14
|
15
|
16
|
Определение точки встречи проецирующей прямой с плоскостью общего положения.
Постановка задачи. Пусть задана горизонтально-проецирующая прямая l (рис. 39) и плоскость общего положения α(∆АВС). Необходимо определить точку встречи К прямой l с плоскость α: К =n∩α.
Решение. Очевидно проекция точки встречи К1 прямой с плоскостью α совпадает с вырожденной проекцией прямой l1: К1 ≡l1: Учитывая то, что точка К принадлежит плоскости α, то задача сводится к определению недостающей проекции точки принадлежащей плоскости. Для этого, вначале, через вырожденную проекцию l1 проводится проекция вспомогательной прямой n1 в предположении, что эта прямая n принадлежит плоскости α: nα => n1α1. Затем, достраивается недостающая фронтальная проекция этой прямой n2. Точка пересечения фронтальных проекций заданной l2 и вспомогательной n2 прямых является искомой проекцией точки встречи К2.
Видимость прямой l относительно плоскости α определяется только для фронтальной плоскости проекций, т.к. на π1 обе проекции видны. Видимость определяется с помощью фронтально конкурирующих точек 2 и 3 (точка 2 лежит на стороне АС треугольника, а точка 3 – на прямой l). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символом «↑».
В задачах, где используется фронтально-проецирующая прямые, при определении точки встречи последовательность решения аналогична выше указанному, только в них известной является фронтальная проекция искомой точки.
Варианты заданий приведены в табл. 8.