1.4.2. Принадлежность точки плоскости

Точка принадлежит плоскости если она принадлежит прямой лежащей в этой плоскости.

Дано: задана плоскость α(∆АВС) и одна из проекций точки К, которая принадлежит этой плоскости (рис. 32).

Определить недостающею проекцию точки К.

Рис. 32

Алгоритм решения.

1. Через известную проекцию точки К₁ проводим проекцию прямой l₁ в предположение, что эта прямая принадлежит заданной плоскости (l  α).

2. По вышеуказанному алгоритму определяется недостающая проекция прямой l₂.

3. По принадлежности точки К прямо l достраивается искомая проекция точки К₂.

1.4.3. Задачи по теме – «Принадлежность прямой и точки плоскости»

Задача 1. Задана плоскость и одна из проекций прямой. Достроить недостающею проекцию прямой. Варианты заданий приведены в табл. 5.

Пример. Заданы плоскость α(А, В, С) и горизонтальная проекция прямой l₁. Определить недостающею проекцию прямой l₂, если известно, что она принадлежит плоскости (l⊂α). Исходные данные приведены на рис. 33, а результат решение на рис 34.

Решение:

- преобразуем задание плоскости α(А, В, С) → α(∆АВС);

- выбираем проекции двух точек одновременно принадлежащих заданным плоскости α и прямой 1: (А₁В₁∩l₁=1₁ и А₁С₁∩l₁=2₁);

- по принадлежности точки 1АВ и 2АС определяем недостающие проекции точек 1₂ и 2₂;

- через полученные проекции точек 1₂ и 2₂ достраиваем недостающую проекцию прямой l₂ принадлежащей плоскости α.

Задача 2. Задана плоскость и одна из проекций точки. Достроить недостающею проекцию точки. Варианты заданий приведены в табл. 6.

Рис. 33 Рис. 34

Пример. Заданы плоскость α(А, В, С) и горизонтальная проекция точки D₁. Определить недостающею проекцию точки D₂ , если известно, что она принадлежит плоскости (D⊂α). Исходные данные А(40;60;5), В(70;30;50), С(10;10;30) и D(5;15;…).

Решение (рис. 35):

Рис. 35

- преобразуем задание плоскости α(А, В, С) → α(∆АВС);

- через известную проекцию точки D₁ проводим проекцию прямой l₁ в предположение, что эта прямая принадлежит заданной плоскости (l  α);

- достраиваем недостающую проекцию l₂ по алгоритму принадлежности прямой плоскости;

- по принадлежности точки D прямо l достраиваем искомую проекцию точки D₂.

Таблица 5

Исходные данные по теме «Принадлежность прямой плоскости»

1	2
3	4

Продолжение табл. 5

5	6
7	8

Продолжение табл.5

9	10
11	12

Окончание табл. 5

13	14
15	16

Таблица 6

Исходные данные по темам «Принадлежность точки плоскости»

Вариант	Численные значения координат точек
	А			В			С			D
	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z
1	35	50	45	5	10	10	70	25	5	70	…	40
2	15	10	30	75	35	5	40	45	50	10	30	…
3	40	50	55	60	35	10	10	5	35	65	…	30
4	15	10	30	45	65	50	65	30	5	65	30	…
5	40	55	5	70	35	50	15	10	30	10	…	30
6	10	10	35	75	30	60	45	50	15	10	40	…
7	45	5	50	70	35	10	15	55	30	15	…	25
8	40	10	55	75	30	5	10	50	35	50	25	…
9	45	50	55	10	25	10	70	5	35	40	…	25
10	75	15	30	40	60	50	5	35	10	10	20	…
11	10	35	5	65	15	35	45	50	55	70	…	35
12	40	60	50	5	30	10	65	15	35	45	40	…
13	5	40	10	40	60	55	75	5	30	35	…	30
14	45	10	50	65	60	35	10	35	5	10	40	…
15	10	30	15	70	50	25	45	10	55	35	…	30