Лекция 8. Методы получения интервальных оценок

1). Понятие о доверительном интервале.

2). Интервальная оценка для МОЖ и дисперсии

3). Понятие о доверительном интервале.

В силу случайности точечной оценки “ ”всегда актуален вопрос о том, к каким ошибкам может привести практическое использование этой оценки, т.е. вопрос о ее точности и надежности.

Для ответа на этот вопрос в математической статистике пользуются так называемыми интервальными оценками, в основе которых лежат понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Пусть для параметра «а» получена из опыта оценка « ». Мы хотим оценить ошибку от замены “ ” на “ ”. Для этого назначим некоторую достаточно большую вероятность (например ) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение “ ”, для которого

Вер ( … ..(8.1)

Тогда диапазон практических возможных значений ошибки, возникающий при замене «а» на « », будет ± . Большие по абсолютной величине ошибки будут проявляться только с малой вероятностью .

Зависимость (8.1) можно представить в виде:

Вер … ..(8.2)

Равенство (8.2) означает, что неизвестное значение параметра «а» с вероятностью попадает в интервал:

……(3)

Как видно, положение этого интервала на оси «а» является случайным, т.к. случаен его центр « »:

Случайна вообще и длина интервала “ ”, т.к. “ ” вычисляется, как правило, по опытным данным.

Поэтому правильнее толковать величину не как вероятность попадания точки «а» в интервал а как вероятность того, что случайный интервал накроет точку «а».

Вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал – доверительным интервалом. Границы интервала и называются доверительными границами.

Доверительный интервал можно рассматривать как интервал значений неизвестного параметра «а», совместных с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если считать события с вероятностью практически невозможными, то те значения «а» для которых , нужно признать противоречащими опытным данным, а те, для которых , - совместимыми с ними.

Для нахождения доверительных границ можно использовать как точные, так и приближенные методы. Рассмотрим эту процедуру на примере точных методов применительно к интервалам для математического ожидания и дисперсии.

Интервальная оценка для МОЖ и дисперсии.

Пусть , т.е. имеем оценку для неизвестного математического ожидания случайной величины “x”. Как правило, дисперсия также неизвестна, так что вместо надо использовать .

Тогда :

Перейдем к правой части этого равенства от случайной величины к случайной величине T, распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства, содержащегося в скобках, на положительную величину :

или

Теперь найдем такое число , для которого справедливо равенство:

Н_о: Вер ( ) =

т.к. функция – четная.

Следовательно:

,

откуда ,

полагая ,

находим .

Таким образом :

и

Пример

;	n =25
;

Вывод: Чем выше уровень доверительной вероятности, тем шире доверительный интервал!

Аналогичным образом можно определить доверительный интервал для дисперсии, если . Для этого достаточно воспользоваться V-статистикой, имеющей -распределение с ν = n-1 степенями свободы. Как известно, эта статистика имеет вид:

,

откуда

Как видно из рисунка, закон распределения статистики V в отличие от закона распределения статистики T не является симметричным. Поэтому возникает вопрос: как выбрать интервал , в который величина V= попадает с вероятностью ?

Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рисунке) были одинаковы и равны

.

Чтобы построить интервал с таким свойством надо воспользоваться таблицей, в которой приведены числа такие, что

.

Зафиксировав ν = n-1, находят по таблице два значения :

Одно , отвечающие вероятности , и другое , отвечающее вероятности . Очевидно, что интервал имеет своим левым, а - правым концом.

Теперь по интервалу найдем искомый интервал для неизвестной дисперсии с границами и , который накрывает точку D с вероятностью :

Для этого убедимся в равносильности неравенств:



,

Откуда:

и

Пример:

n =13 ν = 12

Если интегрировать слева направо: