Лекция 13. Регрессионный анализ
1). Назначение и сущность регрессионного анализа. Классификация по видам.
2). Планирование эксперимента. Как метод реализации процедуры РА. Критерии оптимальности планов.
Назначение и сущность регрессионного анализа. Классификация по видам.
Регрессионным анализом называется один из видов статистического анализа, представляющий собою совокупность методов обработки результатов испытаний, зависящих от различных одновременно действующих случайных факторов различной природы, с целью построения уравнения регрессии в интересах исследования стохастической взаимосвязи между откликом и факторами.
Таким
образом, исходная предпосылка заключается
в том, что между случайным откликом Y
и случайным вектором факторов X
существует стохастическая зависимость
вида
,
где
в общем случае может быть как случайной,
так и неслучайной функцией случайных
аргументов, вид которой неизвестен.
Если бы была известна зависимость закона
распределения Y от
вектора X, то она
позволила бы провести всесторонний
анализ стохастической взаимосвязи Y
и X. Такой путь решения
задачи в принципе возможен, но как
свидетельствует опыт исследований, не
всегда целесообразен. В практике
испытаний гораздо чаще используется
другой вариант решения, идея которого
заключается в том, чтобы установить
зависимость какой-либо числовой
характеристики Y от
возможных значений компонент вектора
X в виде неслучайной
функции неслучайных аргументов. В
регрессионном анализе в качестве такой
числовой характеристики используется
условное математическое ожидание
отклика Y, определяемое
при условии, что компоненты вектора X
приняли определенные значения:
….,
….
Следовательно, в РА используется зависимость вида:
(13.1)
где:
,
- неслучайная функция неслучайных
аргументов.
Эта зависимость предназначена для того, чтобы приближенно представлять истинную стохастическую взаимосвязь между откликом и факторами, т.е. она является регрессией отклика на факторы.
Таким образом, в представлении соотношения в виде (13.1) заключается сущность РА, а в построении зависимости (13.1) по результатам испытаний – его цель.
Различают однофакторный и многофакторный, одномерный и многомерный РА, а по виду зависимости – линейный и нелинейный.
В линейном РА зависимость (1) представляют в виде полинома:
где
- оценка коэффициентов регрессии
(
– оценка для
).
В нелинейном РА зависимость (13.1) обычно включает члены, представляющие так называемые эффекты взаимодействия и степенные эффекты, т.е. члены вида
и т.д.
Активный и пассивный эксперимент.
Исходные понятия ТПЭ: фактор, отклик, план эксперимента.
Отклик Y – однокомпонентный вектор. Фактор X – многокомпонентный вектор столбец вида:
X=
|
|
,
j=1,
В каждом опыте участвуют все факторы, так что в i-м опыте имеем:
;
Всего
опытов N, т.е. i
= 1,
Матрицей спектра плана эксперимента называется матрицы вида:
X
=
=
N точек с координатами
(
)
Совокупность всех точек в пространстве k факторов, отличающихся уровнями хотя бы одного фактора, называется спектром плана эксперимента.
Опыт в i-х условиях может повторяться n раз, что можно представить матрицей дублирования опытов :
=
Матрица спектра совместно с матрицей дает план эксперимента, совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.
ПЭ:
точный,
если
задана;
насыщенный,
если N=k
(без учёта
)
регулярный,
если
Разработка плана эксперимента (ПЭ):
Определение пространства факторов
Выбор стратегии испытания