2 Классификация видов моделирования систем

В настоящее время в научных исследованиях и инженерной практике используются многочисленные методы моделирования. Обычно различают физическое и математическое моделирование.

При физическом моделировании модель воспроизводит оригинал с сохранением его физической природы. Типичные примеры: продувка лета­тельного аппарата в аэродинамической трубе, оценка свойств гидротех­нических сооружений на макете руслового потока. Физическое моделиро­вание связано с пропорциональным изменением основных величин, описы­вающих изучаемый процесс: длины, массы, времени и т.п. При этом не­которые комбинации этих величин (так называемые критерии подобия) остаются неизменными. то дает возможность изменять размеры исследуе­мых конструкций, скорости протекания процессов и др. и тем самым по­лучить существенный выигрыш в стоимости и времени проведения испыта­ний.

Математическое моделирование определяют как описание существен­ных черт изучаемого объекта или явления при помощи математической символики, математических соотношений. С математическими моделями мы постоянно имеем дело при изучении механики, физики, различных техни­ческих дисциплин. В настоящее время математические модели широко ис­пользуются в экономике, биологии, в таких чисто гуманитарных науках, как языкознание, история, социология и др.

История развития наук показывает, что математическое моделиро­вание происходит через четыре этапа:

1 Формулировка законов, связывающих основные объекты модели и запись их в математической форме;

2 Исследование математической модели, решение входящих в нее математических задач.

На этом этапе выбирается или вновь разрабатывается математичес­кий аппарат, методы решения возникающих задач. Он связан с широки­м использование вычислительной техники.

3 Выяснение согласованности модели и изучаемого объекта или, как говорят, проверка адекватности модели и объекта.

Промежуточным между физическим и математическим моделированием является аналоговое моделирование. В его основе лежит аналогия явле­ний различной физической природы, но имеющих одно и то же математи­ческое описание. Например, механические колебания груза, подвешенно­го на пружине, и электрические колебания тока в цепи описываются од­ним и тем же дифференциальным уравнением второго порядка. Это дает возможность исследовать механическую систему - груз на пружине - с помощью электрической модели. Мощным средством аналитического явля­ются аналоговые моделирующие машины и аналого-цифровые вычислитель­ные комплексы.

3 Математическое моделирование процессов функционирования систем

Метод математического моделирования охватывает математическую формулировку законов функционирования объекта исследования, его ма­тематическую модель, алгоритм и его реализацию на ЭВМ. При использо­вании математической модели в первую очередь выделяется система ис­комых величин, определение которых является целью исследования.

После этого ищется способ использования математической модели для определения искомой величин. Можно выделить два способа использования математической модели, при реализации которых могут быть применены все виды вычислительной техники:

1. аналитическое решение;

2. исследование процессов при помощи численных методов.

Под аналитическим решением подразумевается построение явных формул для искомых величин, либо приведение уравнений к виду, для которого решения известны. Такое решение задачи является наиболее полным. Поэтому к аналитическому решению стремятся в первую очередь. Явные формулы для искомых величин дают возможность исследования их зависимости от параметров, которые можно произвольно изменять. Тем самым создается возможность легко находить решения для различных ус­ловий.

Аналитическое решение настолько заманчиво, что зачастую ради его получения прибегают к огрублению исходной модели, отбрасывают некоторые члены в уравнениях, заменяют приближенно нелинейные зави­симости линейными и т.п. Однако, упрощенная модель может оказаться неадекватной объекту и предсказывать неправильные результаты.

В тех случаях, когда аналитическое решение найти не удается, упрощенные зависимости приводят к недопустимо грубым результатам, переходят к численным методам решения.

При использовании численного метода решения соотношения модели преобразуют к виду, позволяющему найти отдельные значения искомых величин путем расчета. Итогом работы в этом случае будет таблица значений искомых величин.

Класс уравнений, которые могут быть решены численными методами, значительно шире, чем класс уравнений, доступных аналитическому ре­шению. Однако расчет всякий раз дает нам одну частную реализацию исследуемого процесса, поэтому исследование всегда не полно. Для по­лучения зависимости искомых величин от заданных параметров требуется многократное повторение расчетов. Неприятным часто оказывается и то обстоятельство, что математические модели сложных процессов в своем первоначальном виде далеко не всегда оказываются пригодными для при­менения численных методов, а преобразование математических моделей в соответствующую систему уравнений, как правило, остаются столь же сложными, как и в случае аналитического исследования.