Лекция 9 моделирование непрерывных случайных величин

План лекции

1. Метод обратной функции.

2. Метод исключения.

3. Моделирование нормального распределения.

4. Обобщенное распределение Эрланга

5. Треугольное распределение

6. Моделирование случайной величины со ступенчатой плотностью.

1. Метод обратной функции.

Пусть случайная величина Х задана своей функцией распределения

F(х) = Р[ X < х ]

Предположим, что F(х) монотонно возрастает на промежутке [а,в], F(а) = 0, F(в) = 1. Один или оба конца промежутка могут быть бесконечными. Тогда в силу монотонности уравнение будет иметь единственный корень и можно говорить об обратной функции, определяемой соотношением.

Пусть U равномерно распределенная на отрезке [0,1] случайная величина. Существует теорема, согласно которой

где f(х) = dF(х)/dх. Таким образом, можно говорить о функциональной связи Х =(U).

Предположим, что (U) - монотонная функция на интервале [0,1]. Тогда можно говорить об обратной функции U =(U). Найдем,

F(х) = Р[ Х<х ] = Р[(U) < х ] = Р[ U<(Х)] = F(U)

Здесь учтено, что неравенство (U) < х эквивалентно U<(Х). Так как

получим F(x)= (Х)=U

На этом основании имеем следующий метод имитации случайной величины Х с заданной функцией распределения F(х).

1) От ДСЧ получаем U.

2) Находим Х из уравнения F(х) = U

На практике встречаются случаи, когда это уравнение не имеет явных решений. В этом случае можно использовать какой-либо численный метод нахождения корня, либо иной метод имитации.

Пример. Рассмотрим алгоритм моделирования показательного распределения. Для показательного распределения величины Т функция распределения запишется

F(t) = 1 - exp(-T), (T>0),

где - параметр распределения, >0.

Значение Т вычисляется как решение уравнения:

1 - ехр(-Т) = u

где U - случайная величина, полученная от датчика случайных чисел.

Решение уравнения запишется

Т = -(1/)ln(1-u)

Поскольку 1-u и u имеют одно и тоже распределение, окончательно получим алгоритм имитации показательно распределенной величины

Т=(-1/)lnU

2. Метод исключения

Сущность метода исключения поясним на примере. Пусть требуется получить координаты случайной точки в круге

Можно организовать выбор случайной точки в квадрате, описанном около этого круга (рис.9.1)

Значения и берутся от ДСЧ. Для получения случайной точки в круге берут случайную точку в квадрате до тех пор, пока она не окажется внутри круга. Схема алгоритма изображена на рис.9.2.

ДСЧ:

Рис.9.2

Вероятность попадания в круг р =/4 есть отношение площадей круга и квадрата. Поэтому среднее число повторений цикла вычислений для одной точки равно 4/= 1,3. Пусть теперь требуется имитировать случайную величину Х с плотностью f(х), относительно которой предположим: - f(х) сосредоточена на конечном отрезке [ а,в ], f(х) = 0, x[а,в]; - f(х) ограничена, f(х),().

График плотности распределения имеет вид (рис.9.3).Обозначим через G область а<х<в, 0<y<f(x).

Рис. 9.3

Утверждение. Если точка (Х,У) равномерно распределена в области G, то ее первая координата Х распределена с плотностью f(х). Действительно, вероятность равна площади заштрихованной фигуры, т.е.

Таким образом, реализации случайной величины Х с плотностью f(х) можно получать, если X,Y координаты случайной точки в области G.

Случайную точку в области G получают методом исключения. Это приводит к следующим вычислениям.

1. От датчика случайных чисел получают два числа и .

2. Получаем координаты случайной точки в прямоугольнике

,,,

3. Проверяем условие . Если оно не выполняется, начинаем с пункта 1. При выполнении условия берем х в качестве значения Х.