2. Формализация входного потока

Напомним, что описание СМО включает в себя три момента:

- описание входного потока заявок;

- описание обслуживающих приборов (линий), т.е. их количество, время обслуживания;

- описание дисциплины обслуживания, т.е. правил, по которым выбирается на обслуживание очередная заявка.

Рассмотрим формализацию элементов СМО.

В простейшем случае считают, что заявки равноправны с точки зрения их обслуживания и существенны лишь моменты поступления их в систему t1,t2,...,tn. Интерес представляет случай, когда ti - случайные моменты времени. Их описание состоит в следующем. Вводятся промежутки времени z1,z2,...zn между моментами поступления последовательных заявок

z1=t1

z2=t2-t1

zn = tn - tn-1

Тогда для моментов времени поступления заявок можно записать

t1=z1; t2=z1+z2; ... tn=z1+z2+...+zn.

Для задания потока нужно описать систему случайных величин z₁,z₂,...z_n. В самом общем случае для этого надо знать совместные функции распределения или совместные плотности:

или

f₁(x₁); f₂(x₁,x₂),...,f_n(x₁,x₂,...,x_n)

Такое описание очень громоздко. Поэтому выделяют частные случаи потоков, допускающие более простое описание и имеющие практическую ценность.

Поток называют потоком с ограниченным последствием, если случайные величины z₁,z=,...z_n являются независимыми.

В этом случае достаточно описать каждую из них, например, плотностью f_i(x) (для z_i). Следовательно, плотность

f_n(x₁,x₂,...,x_n) = f1(x₁)f₂(x₂) ... f_n(x_n), n=1,2...n

Поток называют стационарным, если вероятность p_k(t,t+) поступления к заявок на промежутке времени (t, t+) зависит от величины промежутка ti+1-ti и не зависит от его положения на временной оси, т.е. от времени t: pk(t,t+)=pk().

Если поток с ограниченным последствием удовлетворяет требованию стационарности, то

f₂(x)=f₃(x)=f₄(x)=...=f(x)

Плотность f₁(x) может быть вычислена. Таким образом, для задания такого потока достаточно знания одной функции f(x) – плотности распределения промежутка времени между поступлениями заявок.

Величина представляет собой среднее значение этого промежутка. Вместо а используют другую характеристику - среднее число заявок, поступающих в единицу времени. Характеристику называют интенсивностью потока.

В случае стационарного потока без последствий формула для f(x) запишется

.

Обычно предполагается, что заявки поступают по одной. Это отражается в понятии ординарности потока заявок. Пусть (t,t+t) - вероятность поступления двух или более заявок за промежуток времени (t,t+t).

Поток называется ординарным, если

Для учета групповых заявок часто применяется следующая схема. Считают, что моменты времени ti поступления заявок ординарный поток, но в каждый момент времени ti может поступить с вероятностью p_k группа к заявок. Распределение к задается таблицей:

K	1	2	3
Pk	P1	P2	P3

Более сильным требованием, чем требование ограниченного последствия является требование отсутствия последствия.

Поток называют потоком без последствий, если условная вероятность Р(В/А) какого-либо события на промежутке времени (t,) равна безусловной вероятности события А: Р(В/А)=Р(А).

Поток без последствия, стационарный и ординарный обязательно является пуассоновским, т.е. для него

Р(A/B)=Р(А), f(x)= , f1(x) = f(x), x>=0

Пуассоновский поток получил свое название потому, что вероятность поступления к заявок за время t дается формулой

,k = 0,1,2…

Рассмотрим наиболее распространенные схемы для описания потоков. Все они предполагаются стационарными и с ограниченным последствием.

1. Простейший пуассоновский поток. Поток задается плотностью распределения времени между соседними заявками.

f(x)= , (x>=0)

Моменты поступления заявок можно моделировать по формулам

, i=1,2,..., t0=0.

2. Равномерный поток. Считается, что промежуток времени z между соседними заявками распределен равномерно от 0 до a. f(x)=1/a (0<=x<=a)

Имеем: M[z]=a/2, =2/a - интенсивность потока.

Вычисление f₁(x) производят по формуле

В этом случае момент прихода первой заявки имеет распределение отличное от остальных. Для моделирования потока используем метод обратной функции:

Откуда t1=a*.

Таким образом, моделировать равномерный поток можно по формулам:

t1=a ti+1=ti+au, i=1,2...

3. Поток Эрланга порядка m. Поток задается плотностью распределения

Интенсивность потока = /m

Поток Эрланга порядка m получается прореживанием простейшего потока. В простейшем потоке с параметром оставляются заявки с номерами m,2m,3m..., остальные выбрасываются. Оставшиеся заявки и образуют поток Эрланга. Отсюда вытекает способ его моделирования.

ti+1 =

4. Пуассоновский нестационарный поток. Для пуассоновского потока - среднее число заявок в единицу времени.

t - среднее число заявок за промежуток времени t; - вероятность поступления к заявок за время t.

Желая участь такие явления, как изменение интенсивности поступления заявок в зависимости от времени (например, количество вызовов в телефонной сети колеблется в течение суток) рассматривают обобщение простейшего потока. Поток задается мгновенной интенсивностью (t). Через (t) можно подсчитать среднее число заявок, поступающих за промежуток времени t,t+:

При этом

Поток называется пуассоновским потоком с переменной интенсивностью, если вероятность

Рассмотрим моделирование такого потока.

Пуст i-я заявка поступает в момент времени ti, z - промежуток времени до прихода следующей заявки. Тогда

p{z>t}=po(ti,ti+) =

Fz(t)=1-p{z>t}= 1-exp(- (ti,ti+t))

Используя метод обратной функции, получим, что можно определить из соотношения 1 – exp[- (ti,ti+z)] = u

Окончательно формулы для моделирования получаются при задании конкретного вида (t).

Пример. Пусть at+b= (t) т.е. интенсивность потока линейно зависит от времени. Тогда

Промежуток времени z будет определяться из решения уравнения

(ti, ti+z) = - lnu

Все сказанное выше справедливо и для первой заявки to=0. Таким образом, получается схема моделирования

• вычисляется t1 по формуле

• если ti уже вычислено, находим

и вычисляем ti+1 = ti + z