14. Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.

Понятие функции n- переменных. Пусть каждой точке М из множества точек {M} n-мерного евклидова пространства Еⁿ по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число u из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множества {M} задана функция u=f(M) При этом множества {M} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M), а u частным значением функции в точке M.

Предел функции n-переменных

Пусть каждому К из множества натуральных числе поставлена в соответствие точка МкЕⁿ, то последовательсность точек М1, М2…Мn будет называться последовательностью точек n-мерного Евклидова пространства

Последовательность точек {Мk} включенных в Еⁿ называется сходящейся, если существует такая точка А, что для любого числа >0 можно указать номер N, начиная с которого (при n>N) все точки этой последоватльности будут находится в -окрестности точки А, т.е. р(Мn, А)< Тогда число А называется пределом последовательности {Mn}

Рассмотрим функцию u=f(M), определенную на множестве М, включенном в n-мерное евклидово пространство. (D(f)={M}Еⁿ

Пусть а- некоторая точка n-мерного евклидова пространства:

1. А{M}

2. А{M} но в любой -окрестности точки А содержится хотя бы одна точка множества М

Предел функции. Число b называют пределом функции f(M) в точке А (при МА), если для любой последовательности точек {Mn} из множества {M}, сходящейся к точке А (Mn Отлична от А), соответствующая последовательность значений функции {f(Mn)} сходится к b.

По Коши: Число b называется пределом функии f(M) в точке А, если для любого числа >0 можно найти такое число >0, что для всех точек М множества {M} из -окрестности точки А (удовлетворяющих неравенству р(М,А)<) выполняется неравенство |f(M)-b|<

[T] Пусть две функции f(M) и g(M) определенные на одном множестве {M}, имеют соответственно пределы b и с в точке А. Тогда функции f(M)g(M), f(M)g(M) и f(M)\g(M) (при с0) имеют пределы в точке А, равные соответственно bc, bc и b\c.

Функция u=f(M) называется б-м в точке А, если ее предел в ней равен 0

Функция u=f(M) называется б-б в точке А, если ее предел в ней бесконечен

14. Непрерывность функции n переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных

1)Пусть функция u=f(M) определена на множестве {M} н-мерного евклидова пространства. Возьмем точку А{M}, любая -окрестность которой содержит точки множества М.

2)Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке

Следствие: для непрерывных функций знак предела и функции можно поменять местами.

3)Непрерывность функции по Гейне: Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если для любой последовательности {Mn} сходящейся к А, соответствующая ей последовательность {f(Mn)} сходится к f(A)

4) Функция u=f(M) называется непрерывной в точке K, если для любого >0 найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех M принадлежащих {M}, удовлетворяющих условию р(М,А)< выполняется неравенство |f(М)-f(А)|<

5)Функция u=f(M) непрерывна на множестве {M} если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точки н-мерного евклидово пространства для которых функция u=f(M) не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва этой функции.

Приращением или полным приращением функции u=f(M) в точке А называется разность u=f(M)-f(A)

Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при M->0.

Непрерывность функции n-переменных по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных.

Рассмотрим частное приращение функции в точке М (X1,X2,..Xn)

Зафиксируем все переменные этой функции, кроме одной, аргументу X1 дадим приращение x1, имеем:

u=f(x1+x1, x2+x2,…Xn)-f(x1, x2,…Xn)

U=f(x1, x2,…xn)

x1U=f(x1+x1, …xn)-f(x1, x2,…Xn)

Причем x1 М’(x1+x1,…xn){M}

Аналогично выводится частное приращение функции по остальным переменным

_хnU=f(X1,x2, …, Xn-1, Xn+ xn)-F(x1, x2,…Xn)

Функция u=f(x1,x2,…xn) называется непрерывной в т М(x1, x2, …xn) по переменной Хк, если частное приращение этой функции хкU является б-м функцией при хк->0

Для непрерывных функций справедливые теоремы аналогичные теоремам о непрерывных функциях одной переменной:

1. функций Пусть функции f(M) и g(M) непрерывны на одном и том же множестве {M}

Тогда функции f(M)g(M), f(M)*g(M) и f(M)\g(M) также непрерывна в точке F

(частное при g(A))

Также справедливы:

1. теорема об устойчивости знака непрерывной функции

2. 2 теорема Больцано-Коши о прохождении любой непрерывной функции через промежуточ-

ное значение

3. 1 и 2 торемы Вейерштраса.