14. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

[T] Если функция u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b] то справедлива формула Доказательство Так как функция u(x) и v(x) по условию имеют производные, то по правилу дифференцирования произведения [u(x)v(x)]’=u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Откуда следует, что функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). А т.к. функция u(x)v’(x)+v(x)u’(x) непрерывна на отрезке [a,b], то интеграл от нее существует, т.е. она интегрируема на этом отрезке и по формуле Ньютона-Лейбница Отсюда по свойству 4 определенных интегралов получим, что то же , ч т.д.

Приложение определенного интеграла Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную снизу сегментом [a,b] оси Ох, с боков прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [a,b]. Докажем, что площадь этой криволинейной трапеции S=

Доказательство: Разобьем произвольно отрезок [a,b] на n частей, т.е. рассмотрим разбиение сегмента [a,b] на {Xn} точками a=Xo<X1<X2<…<Xi-1<Xi<…<Xn=b, выберем на каждом частичном отрезке [Xi-1, Xi], I=1,2,…,n? Произвольно точку _I (Xi-1IXi) и рассмотрим ступенчатую фигуру. Ее площадь будет приблизительно равной площади криволинейной трапеции. S , где х_i= х_i- х_i-1.Таким образом, получена интегральная сумма . Т.к. Функция f(x) непрерывна на [a,b], то предел этой суммы существует при = и площадь S криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции f(x) на [a,b] S=

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) на [a,b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [a,b] ограниченной сверху графиком функции y=f(x).

14. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Пусть в интеграле функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Разобьем этот отрезок на n равных частей точками (узлами) х=х_i (0In). Проведем прямые х=х_i и соединим соседние точки их пересечения с кривой f(x) хордами, т.е. построим n трапецией с основаниями y_i-1=f(x_i-1) и y_i=f(x_i) и высотой (b-a)/n каждая (0In). Сумма площадей этих прямоугольных трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции или искомому интегралу: = ]

Это формула трапеции.

B

A

f(x₀) f(X₁) f(X₂) f(x _k-1) f(X_k) f(x _n-1) f(Xn)

X₀=a X₁ X₂ X _k-1 X_k X _n-1 b=Xn

14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Несобственные интегралы.

При рассмторении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция ограничена на конечном отрезке интегрирования. Данное выше определение определенного интеграла не имеет смысла, если не выполняется хотя бы одно из этих условий. Нельзя разбить бесконечный интервал на конечное число отрезков конечной длины, при неограниченной функции интегральная сумма не имеет предела.

В связи с этим вводят понятие несобственного интеграла 1 и 2 рода.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; +) и интегрируема на любом отрезке [a,R], R>0, так что интеграл имеет смысл, Предел этого интеграла при R называется несобственным интегралом первого рода и обозначается . В случае, если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [a, +), если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-, b]. . Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов , где с- любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода основан на геометрической интерпретации определенного интеграла на отрезке [a,R]: это площадь бесконечной области, ограниченной сверху неотрицательной функцией f(x), снизу осью Ох, слева- прямой х=а. Такая же интерпретация имеет место и для остальных несобственных интегралов.

. y=f(x)

а R