10. Понятие определенного интеграла.

Def Если существует конечный предел I интегральных сумм  при 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается I= =

Def функция f(x) называется интегрируемой на [a,b] если для любой последовательности разбиений {Xk}, у которой соответствующая последовательность интегральных сумм {k} стремится к одному и тому же числу I.

Def Число I называется определенным интегралом от функции f(x) оп отрезку [a,b], если для любого >0 существует такое >0, что при  (т.е. если отрезок [a,b] разбит на части с длинами Xi<) независимо от выбора точек I выполняется неравенство , или же для любого i[Xi-1, Xi]

Интегрируемость функции по Риману: Число I называется пределом интегральных сумм , зависящих от (х_к;_к) при d0, если для любого положительного числа , найдется соответствующее ему положительное число , большее d, такое что для любого _к будет выполняться | (х_к;_к)-I|<. >0)(d<) _k: | (х_к;_к)-I|< Следует отметить, что существует только один предел  при d0

I=

Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если для этой функции на указанном сегменте существует I= при d0

Число I называется определенным интегралом Римана от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается так: I= , где а- нижний предел, b- верхний предел

Следует отметить, что = =

11. Основные свойства определенного интеграла.

Интеграл был введен для случая a<b. Обобщим понятие определенного интеграла, на случаи когда a=b, a>b.

1. Если a=b, то по определению на отрезке нулевой длины полагаем, что =0

Если а>b, то по определению =- (4), т.е. когда отрезок [a,b] при a<b пробегает в направлении от b к а, имеем b=X0, а=Xn, Xi=Xi-Xi-1<0

2. Каковы бы ни были числа а, b и с всегда имеет место равенство: = + (здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входящие в доказываемые формулы существуют)

Доказательство: Допустим сначала, что а<c<b, т.к. предел интегральной суммы  не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], то будем проводить разбиение так, чтобы точка с всегда была бы точкой разбиения [a,b]. Если например с=х_m, то  можно разбить на две суммы: = = + . Переходя в последнем равенстве к пределу при  мы и получим искомое равенство.

Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Доказательство для другого расположения точек a, b, c легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а<b<c, тогда по доказанному, имеем: = + , откуда учитывая (4) получаем = - = + ч.т.д.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. =к . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a,b] и любого выбора точек _I =k

Переходя к пределу при 0 имеем = = =к = к ., ч.т.д.

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.  . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a.b] и любого выбора точек _{I = } Так как = и = , то получаем что ₌  = 

Замечание: это свойство имеет место для любого конечного числа слагаемых.

[Т] О среднем

Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] то существует т С, принадлежащая этому сегменту, такая что =f(c)(b-a). Эта формула называется формулой среднего значения. Доказательство: Так как f(x) непрерывна на [a,b] то по второй теореме Вейерштрасса, существуют числа m и М такие что f(x)=mf(x)M= f(x). Отсюда находим m(b-a) M(b-a), следовательно, m . Положим, = (mM). Так как  заключено между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции f(x) и на [a,b] то по теореме о прохождении функции через любое промежуточное значение, существует точка с[a,b] такая что f(c)=. Поэтому =f(c), а это равносильно искомому равенству. Величина f(c) называется средним значение функции f(x) на отрезке [a,b]. Замечание: теорема о среднем имеет четкий геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x)>=0 равна площади прямоугольника имеющего высоту f(c) и основание b-a.