- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Методы замены переменной
- •Непосредственное интегрирование.
- •Метод подстановки или метод замены переменных.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Основные типы интегралов берущихся по частям.
- •Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- •Метод неопределенных коэффициентов.
- •Основные типы интегралов от рациональных функций.
- •Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- •Понятие определенного интеграла.
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Приближенное вычисление определенного интеграла.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- •Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •Непрерывность функции n переменных.
- •Непрерывность сложной функции.
- •Частные производные функции n переменных.
- •Дифференцируемость функции n переменных.
- •Дифференциал функции n переменных.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Производная по направлению. Градиент.
- •Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- •Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- •Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- •Необходимое условие локального экстремума
- •Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •Неявные функции.
- •Условный экстремум
- •Метод множителей Лагранжа.
- •Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •Свойства сходящихся числовых рядов.
- •Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.
- •Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •Признак сравнения.
- •П ризнак Даламбера.
- •Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •Степенные ряды.
- •Теорема Абеля.
- •Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- •Теорема о радиусе сходимости степенного ряда
- •49, Определние и услвия сущ-ния двойных интегралов.Геом смысл.Св-ва.
- •50.Свойства .
- •52. Теорема о переходе от к повторному для криволинейной обл-ти.
- •Диффер ур-ния 1-го порядка.Решение ур-ния.Теорема Коши и ее геом смысл.
- •Линейные ур-ния.Метод вариации.
- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •Понятие неопределенного интеграла.
Методы замены переменной
Непосредственное интегрирование.
С помощью табл осн интегралов.
Метод подстановки или метод замены переменных.
Достаточно часто введение новой переменой позволяет свести интеграл к табличному
[Т] Пусть функция х=(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х- множество значений этой функции, на котором определена функция y=f(x), т.е. на T определена сложная функция y=f[(t)]. Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную F(x), то справедлива формула f(x)dx|x=(t)= f[(t)]’(t)dt. Док-во: Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x) на множестве Х. Рассмотрим на множестве T сложную функцию F[(t)]. Продифференцируем ее по правилам дифференцирования сложной функции: F’[(t)]*’(t)=f’[(t)]*’(t) мы получили что эта функция имеет на множестве Т первообразную F[(t)]. f[(t)]*’(t)dt=F[(t)]+C=F(x)+C|x=(t)= f(x)dx|x=(t). Получили искомую формулу замены переменных в неопределенном интеграле.
Замечание: При замене переменных в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а задавать t как функцию от х.
Метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.
[Т] Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’(x)*v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т.е. существует v(x)u’(x)dx. Тогда на промежутке Х функция имеет u(x)v’(x) также имеет первообразную и справедлива формула: u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)- v(x)u’(x)dx. Доказательство: Из равенства [u(x)*v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) следует u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x). Первообразной функции [u(x)v(x)]’ на промежутке Х является функция u(x)v(x). Функция u’(x)v(x) имеет первообразную на Х по условию теоремы. Следовательно, и функция u(x)v’(x) имеет первообразную на промежутке Х (как разность интегрируемых функций). Интегрируя последнее равенство, получим формулу u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)- v(x)u’(x)dx (формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле).
Т.к. v’(x)dx=dv, u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде udv=uv-vdu.
За u выбирают ту часть подынтегральной функции, которая упрощается дифференцированием, а за dv ту часть, интеграл от которой существует
Основные типы интегралов берущихся по частям.
Общие рекомендации: Практика показывает, что большая часть интегралов берущихся по частям может быть выделена в следующие группы:
Подынтегральная функция содержит в виде множителя одну из следующих функций: arctgx, arcctgx, arcsinx, arccosx,log и их квадраты, степени этих функций, а также lnx- их полагают за u, а оставшаяся часть это производные известных функций, т.е. интеграл от оставшейся части подынтегрального выражения существует.
Интегралы вида (ax+b)n sinkx, (ax+b)n coskx, (ax+b)n екх, где а,b,к=const, n- натуральное число. Эти интегралы берутся n- кратным интегрированием по частям. U=(ax+b)n 1kn, dv- оставшаяся часть выражения.
Интегралы вида: ехasin(bx)dx, еaxcos(bx)dx, sin(lnx)dx, cos(lnx)dx. Исходный интеграл обозначается за I, берется 2 раза по частям и получаем в правой части выражение, содержащее исходный интеграл I, т.е. мы получаем уравнение относительно исходного интеграла, решаем его относительно I.
4. Существуют интегралы, берущиеся по частям и не относящиеся ни к какой из вышеперечисленных групп.