50.Свойства .

1.kf(x,y)d'xd'y = kf(x,y)d'xd'y

2. (f(x,y) + g(x,y))d'xd'y = f(x,y)d'xd'y + _Gg(x,y)d'xd'y.

3. f(x,y)d'xd'y = f(x,y)d'xd'y + f(x,y)d'xd'y.

Теорема о среднем: Если ф-я f(x,y) непрерывна в области G, то в этой области  точка с координатами (α_I,β_I), такая, что f(α_I,β_I)*S = f(x,y)d'xd'y, где S – площадь области G.

51. Теорема о переходе от к повторному для прямоугольной области.

Рассмотрим  по некоторому прямоугольнику D' со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема: Пусть для ф-и f(x,y) в прямоугольной области D'={(x,y)|axb; cyd'} 

f(x,y)d'xd'y.(1) D'

Пусть, кроме того, для каждого х из отрезка [а;b]  определенный интеграл

d'

I(x)=f(x,y)d'y.(2)

c b b d'

Тогда  интеграл I(x)d'x = d'xf(x,y)d'y, называемый

a a c

повторным, и справедливо равенство:

b d'

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y.(3)

D' a c

Замечание: Если в теореме х и у поменять ролями, то будет доказано существование повторного интеграла

d' d' b

I(y)d'y = d'yf(x,y)d'x

c c a

и справедлива формула

d' b

f(x,y)d'xd'y = d'yf(x,y)d'x. (8)

D' c a

С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится к повторному.

52. Теорема о переходе от  к повторному для криволинейной обл-ти.

Теорема. Пусть ф-я z=f(x,y) определена в области G={(x,y)|axb; y₁(x)yy₂(x)}, где у₁(х) и у₂(х) – непрерывные ф-и, у₁(х)у₂(х) для axb.

Пусть, кроме того,  двойной интеграл

f(x,y)d'xd'y и для каждого х из отрезка [a,b] существует

G

определенный интеграл

у₂(х)

f(x,y)d'y = I(x).

у₁(х)

Тогда  повторный интеграл:

b b у₂(х)

I(x)d'x = d'xf(x,y)d'y

a a у₁(х)

и справедливо равенство

a у₂(х)

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y (1)

G b у₁(х)

Замечание1.

Если в теореме х и у поменять ролями, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла:

d' d' x₂(y)

I(y)d'y = d'yf(x,y)d'x

c c x₁(y)

и равенства:

d' x₂(y)

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y

G c x₁(y)

53. Диффер ур-ния 1-го порядка.Решение ур-ния.Теорема Коши и ее геом смысл.

Определение 1. Уравнение вида Р (х, у, у'} = О (1)

где х — независимая переменная', у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно y', то оно принимает вид

У' =f(х, у} . (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относитель-но производной. Будем рассматривать именно такие уравнения. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде

dy/dx=f(x,y) или в виде /f(х, у) dх- dу = 0, являющемся част-ным случаем более общего уравнения -

Р (х, у)dх + Q (х, у) dу =О, (3)

где Р (х, у] и Q (х, у] — известные функции. Уравнение в симмет-ричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равно-правны- Т. E каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Примеры диф Ур вида 2 и 3

Решением диф Ур первоо порядка наз функция y=Ф(х), х э (а,в), которая при подстановке в Ур обращ его в верное тождество. Пример

График реш диф Ур на интегральной кривой.

Коши. Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение У' =f(х, у} (2) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о суще-ствовании и единственности решения дифференциального уравне-ния (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 15.1. (теорема Коши)**. Если функция f (х, y) и ее частная производная f'у (х, у) определены и непрерывны в некото-рой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя тoчка (X0; у0) области G, в некоторой окрестности этой точки су-ществует единственное решение уравнения у' =f(х, у), удовлетво-ряющее условиям:

у = у0 при х = .x0.(4)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее не-известно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутрен-нюю точку (х0; y0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (4), в силу которых функция у=Ф(у) принимает за-данное значение у0„ в заданной точке х0, называют начальными усло-виями решения и записывают обычно так:

у\x=xо = Уо. (5)

Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего началь-ным условиям (5), — одна из важнейших задач теории дифферен-циальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С гео-метрической точки зрения решить задачу Коши — значит из мно-жества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0;у0) плоскости Оху.

Точки плоскости, через кот либо прох более одной инт кривой, либо не прох ни одной, наз особыми точками данного Ур.

Общее и частное решение диффер ур-ния.

Общим решением Ур-ния У' =f(х, у}(2) в некоторой обл G плоскости ОХУ наз функция у=Ф(х,С), завис от х и произвольной пост С, если она явл решением Ур (2) при любом значении постоянной С, и если при люб начальных условияхуl(Х=Хо) = Уо. (5) таких, что (х0; у0) принадл G , существует единственное значение постоянной С = С0 такое, что функция У= ф (х, С0) удовлетворяет данным начальным условиям ф (х0, С0)=у0

определение 4. Частным решением уравнения (2) в области G

называется функция у = ф (х, C0), которая получается из oбщего решения у=Ф(х,С) при определенном значении постоянной С = С0 Геометрически общее решение у = ф (х, С) представляет собой

семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от

одной произвольной постоянной С, а частное решение у = ф (х0,,С0)

— одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х0; у0).

Иногда начальные условия (5) называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.

Пример 1. Рассмотрим уравнение у' = Зх^2.

Данное уравнение является дифференциальным уравнен первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Кс так как функции f(х, у) =Зх2 и f'у (х, у] = О определены и не рывны на всей плоскости Оху. Легко проверить, что функция y= х^3 + С, где С — произвольная постоянная, является общим! решением данного уравнения во всей плоскости Оху.

Геометрически это общее решение представляет собой семейство кубических парабол. При различных значениях постоянной получаем различные решения данного уравнения. Например, если С = 0, то у —=х3, если С = —1, то у = хя — 1, если С = 2, у = х3 + 2, и т. д.

Для решения какой-нибудь задачи Коши, т. е. отыскания частного решения, зададим произвольные начальные условия:

Х=х0 у = УО. Подставляя эти значения в общее решение

у = х3 +С вместо х и у, получаем у0 = Хо + С, откуда

С = у0 — х3. Таким образом, найдено частное решение

у•= х3 + у0 — х03. Геометри чески это означает, что из семейства кубических парабол у = х3 +С выбрана одна, проходящая через заданную точку (х0; у0)

Пример 2„ Рассмотрим уравнение у' = —у/х.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Функции f (х, у) = —у/х и f’y (х, у] = —1/х непрерывны при х <>0. Следовательно, во всей плоскости Оху, кроме оси Оу, это уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши.

Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнен в областях у > 0 и у < 0 является функция у = С/х, где С произвольная постоянная. При различных значениях постоянной получаем различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начал ным условиям х0 = 1, у0 = 1. Имеем 1 =С/1. Отсюда С = 1 и искомое частное реш у=1/х

Геометрически общ реш данного Ур предст собой семейство гипербол у=с/х, кажд из кот изображ частное реш данного Ур. Задавая нач усл х0=1 у0=1, выд из всего семейства ту гиперболу, кот проходит через точку (1;1) плоскости Оху( рис222). Через точки леж на оси Оу, не проходит ни одной инт кривой, т.е. это особые точки Ур.

Геометрический смысл уравнения, пусть дано дифференциаль-ное уравнение первого порядка у' = f (х, у] и пусть функция у =Ф (X) — его решение. График решения представляет собой не-прерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную.

54, Ур-ния с разделяющимися переменными.

Определение 5. Урав-нение вида

У' = f1 (x) *f2(y) (6)

где f1(х) и f2 (у) — не прерывные функции,

называется диф уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения уравнения (6) нужно

разделить в нем переменные. Для этого заменим в (6) у' на

dy/dx, разделим обе части уравнения на f2 (у] (предполагаем

f2 (у) <>0) и умножим на f(x) Тогда уравнение (6) принимает вид

dy/f2(y)=f1(x)dx (7)

В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у — только в левую (т. е. переменные разделены). Предполагая, что функция у = ф (х) является решением уравнения, и подставляя ее в тождество(7), получаем тождество.

Интегрируя тождество, получаем

Sdy/f2(y)=Sf1(x)*dx+c (8)

где С =С.2 — С1 — произвольная постоянная.

Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение

уравнения (6).