14. Теорема о радиусе сходимости степенного ряда

Если существует предел lim a_n+1/a_n0 ,то радиус сходимости степенного ряда а_nхⁿ

n n=0

(1) равен R= lim a_n/a_n+1.

n 

Док-во: рассмотрим ряд а_nхⁿ(2). По условию существует предел lim a_n+1/a_n0.

n=0 n

Обозначим его через 1/R. Тогда lim a_n+1xⁿ⁺¹/a_nxⁿ=x lim a_n+1/a_n=x/R.

n n

При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом. Поэтому по признаку Даламбера ряд (2) также сходится, если x/R<1 ,т.е.  х< R. Следовательно, по теореме о сходимости знакопеременных рядов ряд (1) также сходится при  х< R, причём абсолютно. При  х> R ряд (1) расходится, т.к. lim a_n+1xⁿ⁺¹/a_nxⁿ=x/R>1 и ,

n

следовательно, общий член ряда а_nхⁿ не стремится к нулю при n.

Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала (-R,R) и расходится вне его, т.е. радиус сходимости R= lim a_n/a_n+1

n

Замечание. Можно доказать, что если lim a_n+1/a_n= 0, то ряд (1) сходится на всей

n

числовой прямой, т.е. R=, а если lim a_n+1/a_n=,то ряд сходится только при х=0, т.е.

n

R=0.

49, Определние и услвия сущ-ния двойных интегралов.Геом смысл.Св-ва.

Пусть G – замкнутая (содержит все свои точки) и ограниченная область.

Ф-я z=f(x,y) на этой области определена и ограничена.

Граница области G составлена из точек y_i=f_i(x) и x_i=f_i(y).

Введем понятие интегральной суммы:

1. Разобьем обл. G на n произвольных частей (G_i, i=1,n). G_i – частичная область. Полученные частичные области не имеют общих точек. S_i, i=1,n – площадь частичной области.

В каждой частичной области выберем точку с координатами (α_I,β_I). Вычислим значение ф-и в этой точке (f(α_I,β_I)) и составим такую сумму:

n

(1) =f(α_I,β_I)S_i

i=1

(1) – интегральная сумма ф-и f(x,y) в обл G.

d_I – диаметр области G_i

 - диаметр разбиения: =maxd_I

Определение 

Если интегральная сумма (1) при 0 имеет предел, равный I, то этот предел называется  от ф-и f(x,y) по области G и обозначается:

I=f(x,y)dxdy

G

f(x,y) – подынтегральная функция.

Если  , то говорят, что ф-я f(x,y) интегрируема по области G, G называют областью интегрирования; х,у – переменными интегрирования; dxdy– элементом площади.

Замечание. Условие огранич ф-ии z=f(x,y) явл необходим,но не достаточным.

Достат условие формулировки с исп-ем сумм Дарбу (кот полностью переносится аналогично в ф-лу).

Теорема1. Ф-ия f(x,y) непрерывная в замкнутой огран обл G,интегрир в обл G.

Теорема2. Ф-ия f(x,y) огран в замкнутой огран обл G и непрер в ней всюду,кроме точек …….. на конечном числе кривых явл графиками ф-ии y=f(x) и x=g(y),где f и g непрер и интегрир в этой обл.

Геометрический смысл 

Пусть в пространстве дано тело Р, ограниченное:

1.Сверху – графиком непрерывной и неотрицательной функции z=f(x,y)

2.Снизу – областью G

3.Сбоку – цилиндрической поверхностью.

Направляющей этой цилиндрической поверхности является область G, а образующими – прямые, || оси z.

Такое тело называется криволинейным цилиндром

Интегр сумма σ-это сумма объемов цилиндриков,в которой можно принять приближенно за тело Р,это приближенное равенство тем точнее,чем меньше область разбиения G на части,т е при переходе к пределу при 0 мы получаем равенство

n

VP = limf(α,β)S_i.

0 i=1

Т.о. геометрический смысл :

 от непрерывной, неотрицательной, ограниченной функции равен объему криволинейного цилиндра.

Следствие: Если f(x,y) 1 для всех (x,y)€G,то I=f(x,y)dxdy =lim при λ→0 ∑f(α,β)* S_i= limS_i = S_G.

0 i=1