14. Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд (1) сходится при х=х₀ (х₀ 0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию я х< х₀.

2. Если ряд (1) расходится при х= х₁,то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию х<х₁.



Док-во: 1)т.к. по условию числовой ряд a_nx₀ⁿ сходится, то его общий член a_nx₀ⁿ 0 при

n=0

n, откуда следует, что последовательность { a_nx₀ⁿ } ограничена , т.е. существует число M>0 такое, что  a_nx₀ⁿ <M, n =0, 1, 2… (2) Перепишем ряд (1) в виде

a₀ + а₁х₀ (х/х₀) + а₂х²₀ (х/х₀)² +…+ а_n хⁿ₀ (х/х₀)ⁿ +… (3) и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов : a₀+ а₁х₀х/х₀ + а₂х²₀х/х₀² +…+ а_n хⁿ₀х/х₀ⁿ +… (4).

Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда

М+ Мх/х₀ + Мх/х₀² +…+Мх/х₀ⁿ +… (5) При  х< х₀ ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=х/х₀<1 и, следовательно, сходится.

Т.к. члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5) то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это значит, что ряд (1) при  х< х₀ сходится абсоютно.

П о условию, в точке x₁ ряд (1) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех x , удовлетворяющих условию  х> х₁. Предположим обратное, т.е. допустим, что при некотором значении х таком, что  х> х₁, ряд (1) сходится. Тогда по только что доказанной первой части теоремы ряд (1) должен сходиться и в точке х₁, т.к.  х₁< х. Но это противоречит тому, что в точке х₁ ряд расходится.

Теорема Абеля утверждает, что если х₀ – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале (-х₀, х₀), этот ряд сходится абсолютно, а если х₁ – точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне интервала (-х₁, х₁), ряд расходится.

14. Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

Если ряд  а_n хⁿ (1) сходится на при всех значениях х и не только при х=0, то

n=0

существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при  х<R и расходится при  х>R.

Док-во: обозначим через Х множество точек х, в которых ряд (1) сходится. Покажем, что множество Х ограничено. Действительно, если взять точку х₁, в которой ряд расходится (по условию такие точки существуют), то по теореме Абеля для любого х из множества Х выполняется неравенство  х< х₁. Известно, что у ограниченного сверху множества существует ТВГ. Положим R = supx. Так как ряд сходится не

xХ

только при х=0, то R>0.

Возьмём теперь любое х, для которого  х< R. Согласно свойству ТВГ найдется х₀Х такое, что  х< х₀ R, откуда по теореме Абеля следует абсолютная сходимость ряда при взятом х.

Возьмём теперь любое х, для которого  х> R. Такое хХ. Следовательно, при этом х ряд расходится. 

Таким образом, решён вопрос об области сходимости степенного ряда. Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R=), у других вырождается в одну точку R (R=0). Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При х = R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.