14. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+…, (1) где a_n>0. Признак сходимости Лейбница: теорема: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: a₁>a₂>a₃>…и общий член ряда стремится к нулю: lim a_n = 0, то ряд сходится.

n

Док-во: Пусть дан ряд (1) и пусть a_n>a_n+1 и a0 при n. Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S_2n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n=(a₁-a₂)+(a₃-a₄)+…+(a_2n-1-a_2n). Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S_2n}является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S_2n в виде

S_2n=a₁-[(a₂-a₃)+(a₄-a₅)+…+(a_2n-2-a_2n-1)+a_2n]. Отсюда следует, что S_2n<a₁ для любого n, т.е. {S_2n} ограничена. Итак, последовательность {S_2n} возрастающая и ограниченна, следовательно, она имеет предел lim S_2n=S.

n

Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечётного числа членов сходится у тому же пределу S. Действительно, S_2n+1=S_2n+a_2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при n и используя второе условие (a_n0 при n) , получаем:

lim S_2n+1 = lim (S_2n + a_2n+1) = lim S_2n + lim a_{2 +1} = S + 0 = S.

n n n n

Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится.

14. Знакопеременные ряды, их сходимость.

Знакопеременный ряд: a₁ + a₂ +a₃+…+a_n+…= a_n (1), где числа а₁…могут быть как

n=1

положительными, так и отрицательными, причём расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассматривается ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):



а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=а_n (2).Такой признак сходимости – теорема:

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Док-во: пусть ряд (2) сходится. Обозначим через S_n частичную сумму ряда (1), а через _n частичную сумму ряда (2): S_n= a₁ + a₂ +a₃+…+a_n; _n =а₁+а₂+а₃+…+а_n.Так как ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм {_n} имеет предел lim _n=, при этом для любого n имеет место неравенство _n  (3), поскольку члены ряда (2) неотрицательны.

Обозначим через S’_n сумму положительных членов, а через S’’_n сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме S_n . Тогда: S_n = S’_n - S’’_n(4), _n = S’_n + S’’_n (5). Очевидно, последовательности { S’_n } и { S’’_n } не убывают, а из равенства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограниченными: S’_n _n  и S’’_n _n . Следовательно, существуют lim S’_n = S’ и lim S’’_n = S’’. Но в таком случае, в

n n

силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел :

lim S_n = lim ( S’_n - S’’_n)= lim S’_n - lim S’’_n = S’_n – S’’_n.

n n n n

Это означает, что ряд (1) сходится.

14. Степенные ряды.



Ряд вида a₀ + a₁x +a₂x² +a₃x³+…+a_nxⁿ+…=a_nxⁿ (1) называется степенным рядом.

n=0

Числа a₀, a_1, a_2,…,a_n,… называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения , будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х , при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, т.к. любой степенной ряд сходится при х=0. Очевидно, что частичная сумма S_n (х)= a₀ + a₁x +…+a_nxⁿ является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определённой в области

сходимости ряда:

 

S=S(x)= a_nxⁿ (или f(x)= a_nxⁿ).

n=0 n=0