7.6. Логистический тренд и его свойства.

Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, сна­чала медленно, но с ускорением возрастая, затем ускорение ста­новится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост за­медляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Примером такого цикла динамики может служить изменение доли грамотного населения в стране, например в России, с 1800 г. до наших дней, или изменение доли семей, имеющих телевизоры, примерно с 1945 до 2000 г. в России и т.д. В некоторых зарубеж­ных программах для компьютеров логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно, конечно, логистическую тенденцию считать объе­динением трех разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной - на вто­ром и гиперболической с замедляющимся ростом - на третьем этапе. Но есть доводы и в пользу рассмотрения всего цикла развития как особого единого типа тенденции со сложными переменными свойствами, но постоянным направлением из­менений в сторону увеличения уровней в рассмотренных нами примерах. Рассмотрение таких временных рядов, как проявление еди­ной логистической тенденции, позволяет уже на первом этапе рассчитать всю траекторию развития, определить сроки пере­хода от ускоренного роста к замедленному, что чрезвычайно важно при планировании производства или реализации нового вида товара, спрос на который будет проходить все этапы логи­стической тенденции вплоть до насыщения рынка. Так, напри­мер, обеспеченность населения в России автомобилями в конце 1980-х годов находилась на начальном этапе логистической кри­вой, и это означало, что предстоит еще ряд лет или даже десяти­летий ускоренного роста спроса. В то же время обеспеченность фотоаппаратами уже достигла этапа замедления роста, и это означало, что расширять производство или импорт прежних типов фотоаппаратов не следует. Расширение их рынка возможно было только для принципиально новых типов фотоаппара­тов, насыщенность которыми еще находится в самом начале первого этапа.

В вышеописанном диапазоне изменения уровней, т.е. от нуля до единицы, уравнение логистического тренда имеет вид:

(7.32).

Если же диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а любыми значениями, определяемыми исходя из су­щества задачи, обозначаемыми у_тах и у_тiп, то формула логис­тического тренда принимает вид:

(7.33).

Таблица 7.12.

Показатели динамики при логистическом тренде: .

Номер периода	Уровень	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Ускорение	Темп роста к предыдущему периоду, %
0	51,0	-	-	-
1	54,4	+3,4	-	106,7
2	67,9	+ 13,5	+ 10,1	124,8
3	106,6	+38,7	+25,2	157,0
4	159,7	+53,1	+ 14,4	149,8
5	188,6	+28,8	-24,2	118,1
6	197,3	+8,7	-20,2	104,6
7	199,4	+2,1	-6,6	101,1

Как видно из табл. 7.12, абсолютные изменения нарастают до середины периода, затем уменьшаются. Все они положитель­ны. Ускорения сначала возрастают, а после середины периода снижаются, становятся отрицательными, но уменьшаются по мо­дулю. Сумма положительных и отрицательных ускорений при­ближенно равна нулю (если ряд продлить от до + , то сумма их точно равна нулю). Темпы роста возрастают до конца пер­вой половины ряда, затем снижаются. Если ряд достаточно длин­ный, то темпы начинаются со 100 % и завершаются на 100%.

При логистическом тренде со снижающимися уровнями по­казатели динамики изменяются в следующем порядке: отрица­тельные абсолютные изменения по модулю возрастают до середины ряда и снижаются к концу, стремясь к нулю при . Ускорения в первой половине периода отрицательные и по мо­дулю возрастающие; во второй половине периода ускорении положительные и уменьшающиеся в пределе до нуля. Темпы изменений все меньше 100%, в конце первой половины периода наименьшие, во второй половине возрастающие с замедлением до 100% в пределе. Графическое изображение логистического тренда приведено на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Логистическая тенденция динамики доли тепловозной и электровозной тяги в грузообороте железных дорог СССР.

При расчете параметров логистического тренда логарифмируют величину, производную от уровней ряда, но не номера периодов (моментов), эту нумерацию поэтому рациональнее проводить от середины ряда. Особенностью логистического тренда является этап обоснования значений максимального и минимального уровней временного ряда. Это обоснование осуществляется на основе, во-первых, уровней фактического ряда, во-вторых, теоретических, т.е. внешних по отношению к статистике, соображе­нии, относящихся к содержанию изучаемого процесса.

Уравнение логистического тренда в общем виде непосредственно логарифмировать невозможно. Преобразуем его в форму

(7.34)

и обозначим его левую часть греческой буквой кси, т.е.

или , а

Условие метода наименьших квадратов:

(7.35).

После вычисления частных производных по а₀ и по а , полу­чаем нормальные уравнения МНК для логистической кривой, аналогичные для прямой линии, так как после проведения подстановки с использованием буквы кси, фактически проведена линеаризация функции логистической кривой:

(7.36),

(7.37).

При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда система упрощается до двух уравнений с одним неизвестным в каждом из них: и . Откуда:

и (7.38).

Алгоритм расчета логистической кривой состоит из десяти этапов:

1. выбор величин и ;

2. вычисление по фактическому временному ряду значений

3. вычисление ;

4. нумерация периодов или моментов времени от середины ряда;

5. умножение и ;

6. подсчет итоговых сумм;

7. вычисление и ;

8. вычисление ;

9. вычисление для всех периодов;

10. вычисление уровнем тренда по формуле (7.38).

Для практического закрепления материала рассчитать самостоятельно параметры логистического тренда, в соответствии с которым развивается динамика рыночных цен акций компании «АВС», приведенных во второй колонке таблицы 7.13.

Таблица 7.13.