Расчет гиперболического уравнения тренда.

Год						Тренд,	Откло­нение от тренда,
1960	468	1	1,000	1,000	468	473	-5	25
1965	401	2	0,500	0,250	200	387	+14	196
1970	367	3	0,333	0,111	122	359	+8	64
1975	340	4	0,250	0,062	85	344	-4	16
1980	328	5	0,200	0,040	66	336	-8	64
1985	326	6	0,167	0,028	54	330	_4	16
1990	325	7	0,143	0,020	46	326	-1	1
	2555	-	2,593	1,511	1041	2555	0	382

Нормальные уравнения МНК:

7а + 2,593 b = 2555,

2,593а + 1,511 b = 1041.

Решая систему уравнений, получаем: а = 301,3; b = 171,9. Уравнение гиперболического тренда удельного расхода топлива имеет вид:

Величина удельного расхода 301,3 - это предел, к которому стремится экономия топлива при данной технологии тепловых электростанций региона. Существенного резерва экономии уже нет.

7.5. Логарифмический тренд и его свойства.

Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка­кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо­лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю­щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан­ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда:

(7.25).

Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож­но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко­торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в вы­соту пли снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медлен­нее и медленнее, т.е. по логарифмическому тренду. Нередко та­кой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития сельского хозяйства, например, урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не при­даст тенденции ускорение.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если b>0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b<0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда уменьшаются со временем.

3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противоположный самим абсолютным изменениям, а по модулю посте­пенно уменьшаются.

4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при .

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте­пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе­нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату­хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.

Особенность этого типа тренда заключается в том, что ло­гарифмировать необходимо номера периодов (моментов) вре­мени. Следовательно, все номера должны быть по­ложительными числами. Однако это вовсе не означает, что нумерацию следует начинать с числа 1. Дело в том, что величина логарифма быстро возрастает при переходе от единицы к двум: натуральный логарифм единицы равен нулю, а логарифм двух равен 0,693, имеем рост на 0,693; в то же время логарифм четырех равен 1,386, а логарифм пяти равен 1,609, имеем при­рост лишь на 0,223 и т.д. Если уровень изучаемого ряда вна­чале возрастает втрое быстрее, чем между четвертым и пятым периодом, тогда нумерация от единицы допустима. Если же уменьшение роста уровней происходит значительно медлен­нее, нумерацию периодов (моментов) следует начинать не с единицы, а с большего числа.

Покажем методику расчета логарифмического уравнения тренда на примере динамики валового сбора чая в Китае (см. табл. 7.11).

Таблица 7.11.