7.8. Измерение показателей силы и интенсивности колебаний.

Показатели силы и интенсивности колебаний аналогичны по построению, по форме показателям силы и интенсивности вариации признака в пространственной совокупности. По су­ществу они отличаются тем, что показатели вариации вычисля­ются на основе отклонений от постоянной средней величины, а показатели, характеризующие колеблемость уровней временного ряда, - по отклонениям отдельных уровней от тренда, который можно считать «подвижной средней величиной».

Первый показатель - амплитуда (размах) колеба­ний - разность между наибольшим и наименьшим по абсолют­ной величине отклонениями от тренда. Например, размах колебаний объема экспорта из Японии за 1988-1995 гг. (см. табл. 7.6) составил: 5 - (-4) = 9 млрд дол. Размах колебаний зат­рат условного топлива на 1 кВт-ч электроэнергии (см. табл. 7.10) составил: 14 - (-8) = 22 г топлива на 1 кВт-ч.

Показа­тель амплитуды колебаний характеризует лишь крайние пределы, но не среднюю силу колеблемости. Чем длиннее ряд, тем больше вероятность того, что в нем встретится особенно большое отклонение от тренда. Поэтому с увеличением длины изучаемого периода возрастает в среднем и амплитуда колеба­ний в отличие от всех других показателей колеблемости, кото­рые не зависят от длины ряда.

Вторым показателем колеблемости по абсолютной величине (силе) является среднее по модулю отклонение от трен­да, которое мы обозначим как а(t):

(7.42).

Знак t отличает указанный и все последующие показатели от аналогичного среднего по модулю отклонения от постоянной средней величины, меры силы вариации в пространственной со­вокупности. Средний модуль отклонений измеряется в тех же еди­ницах, что уровни ряда. Например, согласно данным табл. 7.8 среднее по модулю отклонение от тренда численности населения Земли в 1950-2000 гг. может составить примерно 43.3 млн. чел.

Хотя средний модуль отклонений тренда вполне пригоден как обобщающий показатель силы колебаний за изучаемый пе­риод, но, как известно, модули имеют и существенные недостат­ки, в частности, с ними невозможно связать вероятностные законы распределения. Поэтому модули не пригодны для про­гнозирования доверительных границ возможных колебаний с заданной вероятностью.

Чаще всего в качестве третьего показателя силы ко­лебаний используется среднее квадратическое отклонение уров­ней ряда от тренда, обозначаемое как или .

Если речь идет только об измерении колеблемости во времен­ном ряду и не ставится задача оценки силы колебаний вообще в прогнозе на будущее, тогда следует вычислять и использовать обычное среднее квадратическое отклонение:

(7.43).

Если же речь идет о вычислении оценки генерального показа­теля колеблемости, а исходный временной ряд рассматривает­ся как выборка из генерального ряда, продолжаемого и в прошлое и в будущее, то следует учитывать потерю степеней свободы колеблемости и применять показатель:

(7.44),

где р - число параметров в уравнении тренда.

Причину учета числа параметров тренда можно проиллюст­рировать следующими примерами.

Линейный тренд имеет два параметра - а и b. Если из ряда уровней взять только уровни двух любых периодов, то, как из­вестно из геометрии, прямая точно пройдет через две любые точки, мы увидим только тренд и не увидим никаких колеба­ний. Аналогично, если оставить от ряда три любых уровня, тренд в форме параболы II порядка, имеющий три параметра, точно пройдет через три точки графика, в результате колеблемость ос­танется «за кадром», так как у нее нет ни одной степени свобо­ды. Поэтому, оценивая генеральное среднее квадратическое отклонение уровней от тренда, нужно учесть потерю степеней свободы колебаний на величину, равную количеству парамет­ров уравнения тренда. Именно такая несмещенная оценка гене­рального параметра может быть распространена на будущие периоды, т.е. она необходима в прогнозировании. Среднее квадратическое отклонение, как известно, входит в фор­мулу нормального закона распределения вероятностей, на его основе можно рассчитывать вероятности ошибок прогнозов и их доверительные границы.