Расчет параболического тренда объема экспорта Японии.

Год	Уро­вень, млн. чел.	Номер года,			Тренд млн. чел.	Откло­нение от тренда,
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1988	265	-3.5	-927.5	3246	266	-1	1	1
1989	274	-2.5	-685.0	1712	275	-1	1	2
1990	288	-1.5	-432.0	648	290	-2	4	-10
1991	315	-0.5	-157.5	79	310	5	25	25
1992	340	0.5	-170.0	85	335	5	25	-15
1993	362	1.5	-543.0	814	365	-3	9	12
1994	397	2.5	-992.5	2481	401	-4	16	-4
1995	443	3.5	1550.5	5427	442	1	1	-
	2684	0	1054.0	14492	2684	0	82	11

Вычислим параметры параболы: ; ;

8a + 42c = 2684

42a + 388.5c = 14492.

Откуда а = 321.7; с = 2.4.

Уравнение тренда: .

Интерпретация параметров тренда такова: экспорт Япо­нии в 1988-1995 гг. возрастал в номинальной оценке ускорен­но, со средним ускорением: 2*2,4 = 4,8 млрд. дол. в год за каждый год, средний за весь период прирост объема экспорта составил 25.1 млрд. дол. в год, средний уровень экспорта на середину периода был равен 321.7 млрд. дол.

7.3. Экспоненциальный тренд и его свойства.

Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением:

(7.17).

Свобод­ный член экспоненты «а» равен выровненному уровню, т.е. уровню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. при t=0. Основной параметр экспоненциального тренда k является постоянным темпом изменения уровней (цеп­ным). Если k>1, имеем тренд с возрастающими уровнями, причем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высо­ких порядков. Если k<1, то имеем тренд, выражающий тенден­цию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экспонента не имеет и при стремится либо к бесконечности при k>1, либо к 0 при k< 1.

Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви­вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для роста уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпываются. Однако практика показала, что, например, численность населения Земли на протяжении 1950-1985 гг. возрастала примерно по экспоненте со среднегодовым темпом роста k=1.018 и за это время возросла вдвое – с 2.5 до 5 млрд. чел. (рис. 7.4). В настоящее время темп роста населения постепенно уменьшается.

Рис. 7.4. Рост народонаселения Земли.

Экспоненциальный рост объема реализации и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоении промышленностью: при появлении цветных телевизоров, видеомагнитофонов, пейджеров и т.п., но когда производство начинает наполнять рынок, приближаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается.

Основные свойства экспоненциального тренда:

1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональ­ны самим уровням.

2. Экспонента экстремумов не имеет: при k>1 тренд стремит­ся к , при k< 1 тренд стремится к нулю.

3. Уровни тренда представляют собой геометрическую про­грессию.

4. При k>1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k<1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней.

Поведение основных показателей дина­мики в этих случаях рассмотрено в табл. 7.6 и 7.7.

В табл. 7.6 и 7.7 в последней графе приведены редко приме­няемые показатели динамики III порядка: ускорение (или при­рост) ускорения и замедление ускорения. Эти абсолютные показатели даны для наглядного пояснения главного отличия экспоненциального тренда от парабол любого порядка: экспо­нента не имеет постоянных производных любого порядка по времени. Постоянен только цепной темп изменения.

Таблица 7.6.

Экспоненциальный тренд при k>1: .

Номер периода	Уровень	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Цепные темпы, % к предыдущему	Уско- рение	Прирост ускорения к предыдущему периоду
1	120,00	+20,00	120	-	-
2	144,00	+24,00	120	+4,00	-
3	172,80	+28,80	120	+4,80	+0,80
4	207,36	+34,56	120	+4,76	+0,96
5	248,83	+41,47	120	+6,81	+ 1,15
6	298,60	+49,77	120	+ 8,30	+ 1,39

Таблица 7.7.

Экспоненциальный тренд при k<1:

Номер периода	Уровень	Абсолют- ные изме- нения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Уско- рение	Замедление ускорения
1	160,00	-40,00	80	-	-
2	128,00	-32,00	80	+8,00	-
3	102,40	-25,60	80	+6,40	-1,60
4	81,92	-20,48	80	+5,12	-1,28
5	65,54	-16,38	80	+4,10	-1,02
6	52,43	-13,11	80	+3,27	-0,83

По своему суще­ству экспоненциальное развитие процесса и есть предельно воз­можное, предельно благоприятное по условиям развития, так как оно осуществляется в среде, не ограничивающей развитие данного процесса. Но следует помнить, что это происходит толь­ко до определенного времени, так как каждая среда, каждый ресурс в природе ограничен. Единственный спорный в науке процесс, по которому до сих пор нет доказательства ограничен­ности его во времени, - это экспоненциальное замедляющееся расширение Вселенной. Ограничено ли оно и сменится ли со временем сжатием или будет продолжаться бесконечно, зави­сит от значения средней плотности вещества и излучения во Вселенной, которую пока науке установить не удалось, ибо не все формы существования вещества и полей извест­ны. Зато интересно знать, что самый фундаментальный про­цесс, охватывающий всю известную Вселенную, уже по крайней мере 12-15 млрд. лет развивается по экспоненте.

Для нахождения параметров «a» и «k» уравнение экспоненциального тренда логарифмируем:

(7.18).

В такой форме, т.е. для логарифмов, уравнение соответству­ет линейному, следовательно, метод наименьших квадратов дает для логарифмов «а» и «k» нормальные уравнения, аналогичные для параметров a и b линейного тренда:

(7.19),

(7.20).

Так как номера периодов времени не логарифмируются, можно перенести начало отсчета в середину ряда и упростить систему:

; (7.21).

Приведем пример расчета экспоненциального тренда по данным рис. 7.4 (табл. 7.8).

Таблица 7.8.

Расчет экспоненциального тренда численности населения

Земли в 1950-2000 г.

Год						Тренд млн. чел.	Откло­нение от тренда,
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1950	2527	- 2.5	-6317,5	7,835	-19,588	2565	-38	1444
1960	3060	-1.5	-4590,0	8,026	-12,339	3065	-5	25
1970	3727	-0. 5	-1863,5	8,223	-4,112	3663	+64	4096
1980	4430	0.5	2215	8.396	4.198	4377	+53	2809
1990	5241	1.5	7711.5	8.564	12.846	5231	+10	100
2000	6160	2.5	15400	8.726	21.815	6250	-90	8100
	25145	0	12555.5	49.77	3.12	25151	-6	16574

или а = 4004;

или k = 1.195.

Уравнение тренда: .

Итак, население Земли в период времени с 1950 по 2000 г. Возрастало со среднегодовым темпом роста, равным корню десятой степени из среднего темпа за десятилетие, найденного по данным таблицы 7.8, т.е. или 1.8% прироста в год. Прогнозировать дальнейшую динамику численности населения по рассчитанному тренду не стоит, так как уже в начале XXI века темп прироста стал замедляться. По прогнозам Венского Международного института прикладного системного анализа, наиболее вероятный вариант роста населения Земли в нашем веке – постепенное замедление до полного его прекращения к 2100 году при уровне населения 11.5 млрд. чел., а затем снижение числа жителей Земли до 5 млрд. чел.