Расчет линейного тренда

Год	Уро­вень, млн. чел.	Номер года,		Тренд млн. чел.		Откло­нение от тренда,
1 .	2	3	4	5		6	7	8
1990	75,3	-3	-225,9	75,3		0,0	0,00	0,00
1991	73,8	-2	-147,6	73,7		0,1	0,01	0,00
1992	72,1	-1	-72,1	72,1		0,0	0,00	0,00
1993	70,9	0	0,0	70,5		0,4	0,16	-0,16
1994	68,5	1	68,5	68,9	-0,4		0,16	0,08
1995	67,1	2	134,2	67,3	-0,2		0,04	-0,04
1996	65,9	3	197,7	65,7	0,2		0,04	—
	493,6	0	-45,2	493,5	0,1		0,41	-0,12

млн. чел.; млн. чел. В год.

Уравнение тренда: , = 0 в 1993 г. В среднем численность занятых сокращалась на 1615 тыс. чел. в год. Сум­ма уровней тренда должна равняться сумме фактических уров­ней, различие в четвертой значащей цифре связано с округлением значений параметров.

7.2. Параболический тренд и его свойства.

Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением:

(7.11).

Параболы III порядка и более высоких порядков редко приме­нимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограничен­ной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения ма­тематики, можно также считать одним из видов парабол - параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее.

Значения параметров параболы II поряд­ка таковы: свободный член а - это средний (выравненный) уро­вень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы II порядка при­меняется для отображения таких тенденций динамики, кото­рым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней. Процессы такого рода встречаются на практике гораздо реже, чем процессы с равномерным изменением, но, с другой стороны, любое отклонение процесса от строго равномерного прироста (или сокращения) уровней можно интерпретировать как наличие ускорения. Более того, существует строгое математическое правило: чем выше поря­док параболы, тем ближе линия тренда к уровням исходного временного ряда. Если это правило довести до крайнего пре­дела, то любой ряд из п уровней может быть точно отображен параболой (n-1)-го порядка! (Через любые две точки проходит одна прямая, через три точки - одна парабола II порядка и т.д.) Такое «приближение» линий тренда к эмпирическому ряду, содержащему как тенденцию, так и колебания, нельзя считать достижением научного анализа. Напротив, применяя параболу более высокого порядка там, где сущность процес­са этого не требует, а только ради уменьшения остаточной суммы отклонений (или их квадратов) отдельных уровней от тренда, исследователь уходит от цели, смешивая тренд с коле­баниями.

Парабола II порядка, как уравнение тренда, применяется к различным процессам, которые на некотором, как правило, не­продолжительном, этапе развития имеют примерно постоян­ное ускорение абсолютного прироста уровней. Такими бывают рост населения отдельных городов или регионов, ускоренное увеличение объема продукции в фазе циклического подъема, как, например, динамика экспорта Японии в 1988-1995 гг., приведенная на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Динамика экспорта Японии.

Основные свойства тренда в форме параболы II порядка таковы:

1. неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки вре­мени;

2. парабола, рассматриваемая относительно ее математической формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но отно­сительно статистики по содержанию изучаемого процесса из­менений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей: либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конк­ретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;

3) так как свободный член уравнения «а» как значение показателя в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная; то характер тренда определяется знаками параметров b и с:

а) при b>0 и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней;

б) при b<0 и с<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней:

в) при b>0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю­щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про­цессом;

г) при b<0 и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;

4) при параболической форме тренда, в зависимости от со­отношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращении уровней при b<0 и с<0 обязательно начинают возрастать.

Ввиду ограниченного объема лекционного материала рассмотрим не все четыре случая параболических трендов, а лишь два первых (табл. 7.4 и 7.5).

Таблица 7.4.

Показатели динамики при параболическом тренде, когда b>0, с>0: .

Номер периода	Уровень	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Цепные темпы, % к предыдущему	Ускоре­ние
1	122	+22	122	-
2	148	+26	121.3	+4
3	178	+30	120.3	+4
4	212	+34	119.1	+4
5	250	+38	117.9	+4
6	292	+42	116.8	+4

Таблица 7.5.

Показатели динамики при параболическом тренде, когда b<0, с<0: .

Номер периода	Уровень	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Цепные темпы, % к предыдущему	Ускоре­ние
1	178	-22	89	-
2	152	-26	85.4	-4
3	122	-30	80.3	-4
4	88	-34	72.1	-4
5	50	-38	56.8	-4
6	8	-42	16	-4

В тех случаях, когда по существу изучаемого процесса до­пустимо считать единым трендом обе ветви параболы, пред­ставляет большой интерес решение задачи о нахождении того периода или момента времени, когда уровень тренда достигает максимума (когда b>0, с<0) или минимума (если b<0, с>0). Эк­стремальная точка параболы достигается при ну­левом значении первой производной этой функции по времени:

или

Например, если у = 100 + 20t – 2t , то максимум парабола имеет при .

Для вычисления пара­метров a, b, c по методу наименьших квадратов три частные производные функции: приравниваются к нулю, и после преобразований получаем систему трех уравне­ний с тремя неизвестными:

(7.12)

(7.13)

(7.14).

При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда суммы нечетных степеней номеров этих периодов и обращаются в нуль. При этом второе урав­нение обращается в уравнение с одним неизвестным, откуда .

Уравнения (7.12) и (7.14) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными:

(7.15),

(7.16).

Приведем пример расчета параболического тренда по дан­ным рис. 7.3 и табл. 7.6, в которой присутствуют также графы, необходимые для анализа колеблемости.

Таблица 7.6.