1. 5. Условная вероятность и ее свойства

Пусть , F, P – математическая модель вероятностного эксперимента. Это значит, что любое событие A  имеет определенную вероятность P(A), 0  P(A)  1. Вероятность события A связана с комплексом условий  рассматриваемого эксперимента. Как правило, вероятность события меняет свою величину с изменением комплекса условий .

Пример 1.7. Пусть эксперимент состоит в бросании шестигранной игральной кости и подсчете выпавших очков . Пространство элементарных событий , данного эксперимента, cостоит из шести элементарных событий: = {игральная кость выпала гранью вверх содержащей очков}, . Пусть событие А = {выпадет число очков больше трех}: Вероятность этого события, согласно формуле (1.2), равна . Предположим теперь, что об исходе эксперимента известно, что произошло событие В, стоящее в том, что выпало четное число очков: . Вероятность события А в этом случае изменится. Событие В состоит из трех элементарных событий, при появлении двух из которых наступает событие А. Произошло сужение пространства до подмножества В и вероятность события А станет равной , в силу той же формулы (1.2).

Тот факт, что событие B наступило при условии, что событие A произошло, будем обозначать и читать: "Событие B наступило при условии, что событие A произошло". Вероятность наступления события обозначают и называют условной вероятностью наступления события B при условии, что событие A произошло.

Вероятность, равную 2/3, можно получить, если рассматривать отношение вероятностей события АВ и события В:

.

Рассмотрим общий случай. Пусть пространство состоит из n равновозможных элементарных событий. Событие А состоит из m элементарных событий, а событие В – из k элементарных событий. Причем события А и В, вообще говоря, совместны, т. е. событие АВ содержит r элементарных событий. Тогда вероятность события А при условии, что произошло событие В, определяется как и выше, т. е. . Полученное отношение равно отношению вероятностей событий АВ и В, так как , а :

.

Пример 1.8. Пусть пространство вероятностного эксперимента состоит из несчетного множества элементарных событий , где = {выбор точки множества евклидова пространства , }. События А и В состоят в том , что случайным образом выбирается точка, принадлежащая областям А и В соответственно.

Предположим, что событие В произошло, т. е. известно, что случайным образом выбрана точка, принадлежащая области В, и, следовательно, рассматриваются точки области В. В этом случае событие А наступит, если случайным образом выбрана точка из области АВ ( рис. 1. 4).

Рис.1.4

Вероятность события А при условии, что событие В имело место, согласно геометрическому методу задания вероятностей, вычисляется по формуле:

Эту же вероятность можно вычислить через вероятности событий АВ и В, так как а

Определение 1.5. Пусть задано вероятностное пространство , F, P и пусть A и B - произвольные события, A  F, B  F. Если P(B)  0, то условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число , определяемое по формуле

. (1.7)

(Если P(B) = 0, то условная вероятность не определяется).

Точно так же определяется условная вероятность события B в предположении наступления события A:

. (1.8)

Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности.

1. Для любого события A условная вероятность удовлетворяет неравенству 0  P(A/B)  1.

Действительно, = P(AB)/P(B), а P(AB)  0, P(B)  0 и P(AB) 

P(B).

2. Если событие B влечет за собой событие A, то есть B  A, то P(A/B) = 1.

Действительно, если BA, то AB = B и P(AB) = P(B), = = .

3. Если события A и C несовместны, то .

Действительно,

=

= .

Более того, если события A₁, A₂, ... – попарно несовместны, то

4. .

Действительно, .

Откуда .

Таким образом, вероятностное пространство для условных вероятностей задается тройкой B, FB, P(AB)/P(B). Это новое пространство построено с учетом добавочной информации об эксперименте, состоящей в том, что событие B наступило и, следовательно, произошло сужение пространства . Новая -алгебра FB пространства B строится пересечением событий из F с B. Если никаких ограничений на эксперимент, кроме условий , при вычислении вероятности не налагается, то такие вероятности называют безусловными.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется условная вероятность события В в предположении наступления события А?

2. В каких пределах заключается условная вероятность любого события?

3. Каким свойствам удовлетворяет условная вероятность?

4. Чему равна сумма условных вероятностей несовместных событий?

5. Как изменяется вероятностное пространство для условных вероятностей?