1 курс 1 семестр шпоры математика

№1 Билет. Множество – определенная совокупность объектов.Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества. Для обозначения того, что объект x является элементом множества A, используют символику:  xА (читается: x принадлежит А ), запись xА обозначает, что объект x не является элементом множества A (читается: x не принадлежит А). ПРИМЕР А – студенты группы Эп-305. Множества можно изображать с помощью кругов, которые называются кругами Эйлера или диаграммами Венна. Конечным множеством называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Множество называетсябесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Способы задания множеств: 1)          Перечислением всех элементов множества в фигурных скобках. A = {Оля, Маша, Саша} 2)         Характеристическим предикатом, который описывает свойство всех элементов, входящих в множество. В = {x | x - четное натуральное число} = {2, 4, 6, 8, } N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R или  – множество действительных чисел; I – множество иррациональных чисел.

№2 Билет. Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение - B ⊆ A или A ⊇ B). Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества Aпринадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи: {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}. Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым (обозначается: Ø). Множества из элементов которого составляем конкретное множество называется универсальным (обозначается: U). содержащее все объекты и все множества. Пример: U – множество людей на земле.

№3 Билет. Пересечением  двух множеств называется множество, состоящее из общих элементов обоих множеств. ПРИМЕР А={К, А, Т, Я},   В={К, О, С, Т, Я},    ={К, Т, Я}. Операция пересечения множеств коммутативна: Операция пересечения множеств ассоциативна: Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:

№4 Билет. Объединением  двух множеств  называется множество, содержащее все элементы обоих множеств.ПРИМЕР    А={К, А, Т, Я},   В={К, О, С, Т, Я},   . Операция объединения множеств коммутативна: Операция объединения множеств ассоциативна: Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения: Число элементов объединения двух конечных множеств Если n(A)=a, n(B)=b, A Λ B = , то n(A U B) = n(A) + n(B)=a=b

№5 Билет. Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B.  Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти A \ B и B \ A.

A \ B = {2, 4, 6, 8}. B \ A = {11, 13, 17, 19}.

Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А,которые не принадлежат множеству В:  '.= {x | xA, xB}.

Свойства разности: Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:Свойства пустого множества относительно разности: Разность двух множеств содержится в уменьшаемом: . Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению). Если конечное множество состоит из  элементов, то оно имеет ровно  подмножеств.  №6 Билет. Если каждому элементу из множества A сопоставлен в соответствие определенный элемент из множества B, то возникает множество, составленное из пар элементов множеств A и B, - декартово произведение множеств. Записывают декартово произведение множеств так: A × B = {(a; b) | a ∈ A, b ∈ B}. Свойства Рассмотрим несколько свойств декартова произведения: Если A,BA,B — конечные множества, то A×BA×B — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A×B|=|A|⋅|B||A×B|=|A|⋅|B|. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A×B≠B×AA×B≠B×A. Ассоциативный закон не выполняется: (A×B)×C≠A×(B×C)(A×B)×C≠A×(B×C). №8 Билет. Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. разбиении данного множества X на попарно непересекающиеся подмножества или классы можно тогда, когда одновременно выполняются следующие условия: 1) все подмножества, образующие разбиение, непусты; 2) любые два подмножества непересекаются; 3) объединение всех подмножеств есть данное множество X. Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, т.к. выполнены все условия, данные в определении.

№9 Билет. Соответствием между множествами  X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Если  xSy – соответствие между элементами множеств X и Y, то, соглаcно определению, SXY. Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами графа; некоторые из них соединены друг с другом линиями, которые называются ребрами графа. График соответствия представляет собой изображение множества XY в виде точек  на координатной плоскости. Представление соответствия в виде графа и графика позволяет изображать его в тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное множество пар чисел. Если элементу x соответствует y, то y называется образом элемента x, а x - прообразом элемента y. Пишут:  или y = f(x). Множество Aвсех элементов , имеющих один и тот же образ , называется полным прообразом элемента y.

№10 Билет. Одно-однозначные соответствия - характеризуются тем, что все пары соответствия имеют различные первые и различные вторые компоненты. (a1,b1);(a2,b2) Одно-многозначные соответствия - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми первыми, но различными вторыми компонентами. (a1,b1);(a1,b2);(a2,b3) Много-однозначные соответствия - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми вторыми, но различными первыми компонентами. Много-многозначные соответствия - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми первыми компонентами, но различными вторыми, а также наоборот.

№11 Билет. Отображение f из множества X во множество Y — это правило, при помощи которого каждому элементу x∈X ставится в соответствие однозначно определенный элемент y∈Y. Множество Х называется областью определения отображения f; множество Y — его областью значений. Отображение f из Х в Y называется инъективным, если для любых х1, х2 ∈Х из неравенства х1 ≠ х2 следует неравенство f(x1) ≠ f(x2). Отображение f из Х в Y называется суръективным, если множество значений f(X) совпадает с областью значений Y. Отображение f из Х в Y называется биективным, если оно суръективно и инъективно одновременно. Взаимно однозначное соответствие такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует одинопределенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества - один определенный элемент первого множества. Если существует инъективное (соответственно биективное) отображение из Х в Y, то говорят, что мощность Х не больше мощности Y (соответственно мощность Х равна мощности Y). №12 Билет. Мощностью конечного множества называется число его элементов. Множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, называются равномощными (имеющими одинаковую мощность, эквивалентными).  ПРИМЕР  X ={1,3,6},  | X | = 3  Соотношение равномощности обладает следующими тремя основными свойствами:   1) рефлексивность: ;   2) симметрия: если , то ;   3) транзитивность: если  и , то .  Пример 6. Функция y = 10x, где x - действительное число, устанавливает равномощность отрезка [0, 1] и в 10 раз более длинного отрезка [0, 10]. Таким образом, в смысле мощности "количество" точек обоих отрезков одинаково.

№13 Билет. Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисленияэлементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Задание. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано? Решение. Имеем набор {я, я, г, г, г}. Всего перестановок пятиэлементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!. Получаем в итоге 5!/( 2! · 3!) = 3 · 4 · 5/ 2 · 3 = 10. Правило суммы. Если некоторый объект  может быть выбран из совокупности объектов  способами, а другой объект  может быть  способами, то выбрать либо , либо  можно  способами. Правило произведения. Если некоторый объект  может быть выбран из совокупности объектов  способами и после каждого такого выбора другой объект  может быть выбран  способами, то пара объектов  в указанном порядке может быть выбрана  способами. №14 Билет Размещение с повторениями — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз. Например, количество вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно:  размещения без повторения которая выглядит вот так: №15 Билет. Рассмотрим n элементов m различных типов, причем в каждом типе все элементы одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются перестановками с повторением. Если k_i — количество элементов i-го типа, то  и количество всевозможных перестановок с повторениями равно   Последовательность длины n, составленная из k разных символов, первый из которых повторяется n₁ раз, второй — n₂ раз, третий — n₃ раз,…, k-й — n_k раз (где  n₁+ n₂+ … + n_k = n) называется перестановкой с повторениями из nэлементов. Например, пусть дан набор из четырех букв aabc. Тогда все перестановки с повторениями из этих букв суть abac, baac, aabc, aacb, abca, baca, acba, acab, bcaa,cbaa, caba, caab. Число перестановок с повторениями длины n из k разных элементов, взятых соответственно по n₁, n₂, …, n_k раз каждый обозначается P(n₁, n₂, …, n_k) и равно n! / (n₁! n₂! … n_k!). В рассмотренном выше примере, букв a в исходном наборе две, а букв b и с — по одной. Следовательно, количество всех перестановок с повторениями из 4 элементов и составом букв 2, 1, 1 равно P(2, 1, 1) = 4! / (2! 1! 1!) = 12, в чем мы и убедились. №16 Билет. Пусть даны два натуральных числа n и k, k ≤ n. Пусть также у нас имеется набор предметов n различных сортов. Элементы одного сорта считаются одинаковыми, причем количество элементов одного сорта — неограниченно. Произвольный набор из k предметов называется сочетанием с повторениями из n элементов по k. Пример. Пусть в коробке лежат шары трех цветов—красного, синего и зеленого. Шары одного цвета считаются одинаковыми. Вопрос: сколькими способами можно составить набор из двух шаров?  Легко видеть, что это задача на определение числа сочетаний с повторениями. Пусть “к” означает произвольный красный шар, “c”—синий и “з”—зеленый. Тогда все сочетания с повторениями этих трех сортов по два суть : {с,к}, {с,с}, {с,з}, {з,к}, {з,з}, {к,к}. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k обозначается ar{C}^k_n и равно C^k_n+k-1 Сочетания без повторений Сочетания отличаются от размещений тем, что в них не учитывается порядок размещенных элементов.Формула выглядит так: Пример 4.Сколько трехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из 4 цифр: 1, 2, 3, 4?Решение.Перечислим с помощью схемы все возможные числа:Видим, что всего данных чисел 4·3·2 = 24.

№17 Билет (1) Доказательство: Это соотношение сразу вытекает из формулы (1).Ведь если заменить в формуле k на n-k , то (n-k) заменится на n-(n-k)=k и в результате множители, стоящие в знаменателе, поменяются местами.Но равенство (2) можно доказать и не прибегая к явному виду числа сочетаний.Если выбрать из n различных элементов некоторое k-сочетание, то останется дополнительное сочетаниеиз (n-k) элементов, а дополнительным к полученному (n-k)-сочетанию является исходное k-сочетание. Таким образом, k-сочетания и (n-k) сочетания образуют взаимно- дополнительные пары, потому число этих сочетаний одно и то же. Значит,(2). (2) Доказательство: Для доказательства этого равенства составим k-сочетания из n элементов а1,а2,...,аn-1,an и разобьем их на два класса. В первый из них войдут сочетания, содержащие элемент an, а во второй - соочетания, не содержащие этого элемента.Если из любого сочетания первого класса откинуть элемент an, то останется (k-1) сочетание, составленное из элементов .Число этих сочетаний равно .Поэтому в первый класс входит  комбинаций. Сочетания второго класса являются k-сочетаниями из (n-1)элемента . Поэтому их число равно .Поскольку любое k-сочетание из элементов a1,...,an принадлежит одному и только одному из этих классов, а общее число этих сочетаний равно , то приходим к равенству (2). (3) Доказательство: Напомним, что  - это число всех n-размещений с повторениями из элементов двух типов.Разобьем эти размещения на классы,отнеся в k-й класс те, в которые входят k элементов первого типа и (n-k) элементов второго типа.Размещения k-го класса - это не что иное, как всевозможные перестановки из k элементов первого типа (n-k) элементов второго типа. Известно, что число таких перестановок равно P(k,n-k), а .Значит, общее число размещений всех классов равно  .С другой стороны, это же число равно 2^n. Тем самым доказано соотношение(3). (4) Доказательство: Рассмотрим m-сочетания с повторениями, составленные из элементов (n+1) типов, например (n+1) букв a,b,c,...,x.Число таких сочетаний равно .Разобьем все эти сочетания на классы, отнеся к k-му классу сочетания, в которые k раз входит буква a.Остальные (m-k) мест могут быть заняты оставшимися буквами b,c, ...,x число которых равно n.Поэтому в k-ый класс входит столько сочетаний, с повторениями, сколько можно составить (m-k) сочетаний с повторениями из элементов n типов, т.е.. Значит общее число всех сочетаний равно С другой стороны это число равно . Таким образом равенство (4) доказано. (5) Доказательство: Заменяя в (4) n на (n+1) и m на (m+1), используя (2), получим искомое равенство. Частными случаями формулы (5) при n=1,2,3 являются