Вопросы для самопроверки

1. Какие события называют совместными в данном эксперименте?

2. Какие события называют несовместными в данном эксперименте?

3. Какие события называют противоположными?

4. Какие события называют равновозможными?

5. Какие события образуют полную группу событий?

6. Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании

одной монеты?

7. Как определяется объединение (сумма) двух (или более) событий?

8. Как обозначают объединение (сумму) двух (или более) событий?

9. Приведите примеры объединения (суммы) двух событий.

10. Что называют пересечением (произведением) двух (или более) событий?

11. Приведите примеры пересечения двух событий.

12. Что называют разностью двух событий?

13. Приведите примеры разности двух событий.

14. Как можно представить любое событие?

15. Представьте соотношения между событиями при помощи диаграммы Венна.

16. Какие элементы определяются вначале при построении вероятностной модели случайного эксперимента?

17. Как определяется класс событий?

18. Какие события образуют алгебру , алгебру А событий?

1.3. Вероятность. Методы вычисления вероятностей

Определение вероятности как функции множества. Пусть пространство элементарных событий произвольное множество какого-либо эксперимента. Выделим систему подмножеств множества , образующих алгебру .

Если задано множество  и алгебра его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство , .

Для того, чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо для соответствующего эксперимента построить измеримое пространство , , где  означает множество всех элементарных исходов эксперимента, а алгебра выделяет класс событий. Все остальные подмножества , не входящие в , событиями не являются.

Выделение алгебры событий обусловлено, с одной стороны, существом рассматриваемой задачи, с другой стороны – природой множества .

Значение неотрицательной функции на -алгебре множеств называется мерой, если она счетно-аддитивна, т. е. для счетного числа непересекающихся множеств и .

Определим на пространстве ,  числовую характеристику или вероятностную меру (A) для измерения объективной возможности наступления события A . (Значение неотрицательной функции на -алгебре множеств называется мерой, если она счетно-аддитивна, т. е. для счетного числа непересекающихся множеств и .Значение называется мерой множества .) Эту числовую характеристику на множествах будем определять таким образом, чтобы она удовлетворяла условиям:

1. ;

2. ;

3. , в частности, .

Функции множеств, удовлетворяющие условию 3, называются счетно-аддитивными ( аддитивными) или, в частности, аддитивными мерами.

Определение 1.3 Вероятностью события A называется числовая неотрицательная функция P(A), определенная на -алгебре измеримого пространства ,  и удовлетворяющая следующим аксиомам:

Аксиома 1. Для любого события A вероятность события P(A) удовлетворяет неравенству: .

Аксиома 2. Вероятность наступления достоверного события  равна единице: P()=1.

Аксиома 3. Вероятность объединения счетного множества попарно несовместных событий , , ( при ), равна сумме их вероятностей:

. (1.1)

Эквивалентным аксиоме 3 будет требование аддитивности (1.1) для конечного числа событий и следующая аксиома непрерывности.

Аксиома 3'. Пусть последовательность {B_n} событий такова, что и , тогда P(B_n)  P(B) при n  , т. е. .

Из аксиом 1 – 3 следует, что вероятность P(A), определенная на множестве , соответствует любому событию A и вероятность P(A), характеризующая степень объективной возможности наступления события A, представляет собой неотрицательную меру.

Соответствие между событиями A множества событий и их вероятностями называют распределением вероятностей на измеримом пространстве , .

Тройка , ,P называется вероятностным пространством и задание вероятностного пространства есть задание счетно-аддитивной неотрицательной меры на измеримом пространстве, такой, что мера  равна 1.

В таком виде аксиоматика теории вероятностей была сформулирована А.Н. Колмогоровым.

Определение 1.4. Пространство элементарных событий  с выделенной в нем -алгеброй и определенной на измеримом пространстве вероятностной мерой P(A), , называется вероятностным пространством и обозначается , ,P.

Построение вероятностного пространства , ,P является основным этапом при создании математической модели изучаемого эксперимента.

Если пространство элементарных событий конечно или счетно, то распределение вероятностей можно определить вероятностями элементарных событий. В общем случае распределение вероятностей определяется функцией , заданной на элементах множества .

При введении понятия вероятности отмечалось, что каждому событию A соответствует количественная характеристика , называемая вероятностной мерой и характеризующая степень объективной возможности наступления этого события . Эта характеристика должна удовлетворять аксиомам Колмогорова. В определении не указывались способы задания вероятностной меры.

Под заданием вероятностной меры будем понимать правила определения вероятностей наступления некоторых базовых событий. Вероятности наступления других событий будут определяться по заданным вероятностям базовых событий, теорем и свойств вероятностной меры. При этом различные методы задания вероятностей будут характеризовать закономерности рассматриваемого вероятностного эксперимента.

Классический (лапласовский) метод задания вероятности. Элементы комбинаторики. Рассмотрим случайный эксперимент, пространство элементарных событий которого содержит конечное число элементов : и все элементарные события _i равновозможны. Понятие равновозможности всех элементарных событий _i, i = 1, 2, .., n, означает, что в результате реализации эксперимента может произойти одно и только одно из n событий. Понятие равновозможности основано на симметрии условий эксперимента. Например, бросание симметричной монеты или симметричной игральной кости обладают симметрией, обеспечивающей равновозможность исходов. Как правило, такая симметрия присуща искусственно организованным экспериментам. Типичными примерами таких экспериментов являются азартные игры. С анализа таких игр и началось развитие теории вероятностей.

Несовместные и равновозможные элементарные события _i  называют случаями, а об эксперименте говорят, что он сводится к схеме случаев. Пусть  = { }, и все элементарные события равновозможны.

Зададим на  числовую неотрицательную функцию P такую, что . Это значит, что функция P задает на  распределение вероятностей. Поскольку все элементарные события равновозможны и , то вероятности элементарных событий равны друг другу и равны , т.е. P(₁) = P(₂) = … = P(_n) = .

Этот метод задания вероятностей называется классическим или лапласовским.

При классическом методе задания вероятностей, вероятность любого события A  , вычисляется по формуле

, (1.2)

где – число элементарных событий, входящих в A, а – общее число элементарных событий пространства .

Таким образом, чтобы найти вероятность любого события A  , нужно подсчитать все элементарные события , входящие в A, которые мы назовем благоприятствующими или благоприятными появлению событию A и все элементарные события, входящие в пространство  (все элементарные события являются равновозможными событиями).

Покажем, что функция , определенная по формуле (1.2), удовлетворяет аксиомам 1 – 3 Колмогорова.

1. Для любого события , так как и неотрицательные числа.

2. , так как =1.

3. Если события несовместны, то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий, равна сумме их вероятностей, т.е. . Покажем это. Рассмотрим в пространстве элементарных событий два события и : , . Они не имеют общих элементарных событий, так как несовместны. Тогда по определению объединения событий, событие наступит, если произойдет хотя бы одно элементарное событие . Вероятность этого события, по формуле (1.2), равна .

Предположим далее, что аксиома 3 справедлива для события, т. е. .

Вводя обозначение , где , и пользуясь доказанным утверждением для двух событий, получим: , что и требовалось доказать.

Таким образом, при классическом определении вероятностей аксиомы Колмогорова выполняются.

Пример 1.6. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи – белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга?

Решение. Пространство элементарных событий  состоит из элементарных событий ={случайная расстановка двух ладей}. На шахматной доске 64 клетки. Поэтому число способов , расставить две ладьи, равно произведению = 6463 (первую ладью мы можем установить 64-мя способами, а вторую 63-мя способами, так как одна клетка будет занята).

Пусть A – событие, состоит в том, что ладьи не побьют друг друга. Они не побьют друг друга, если не будут расставлены на одной линии. Поэтому, если первая ладья установлена, то из рассмотрения должны быть исключены 8 +7 = 15 клеток и, следовательно, для установки второй ладьи остается 49 клеток. Значит, событию A будут благоприятствовать = 6449 элементарных событий.

Воспользовавшись формулой (1.2), получим:

.

Ответ: вероятность того, что при случайной расстановке на доске две ладьи не побьют друг друга, составляет, примерно, 0,78.

Для вычисления числа элементарных событий m и n применяются формулы из области математики, называемой комбинаторикой.

Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствие с заданными правилами.

Каждое правило комбинаторики определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Простейшими примерами комбинаторной конфигурации являются размещения, перестановки и сочетания.

Размещения. Множества, у которых указан порядок элементов, называют упорядоченными. Тогда множества, состоящие из одних и тех же элементов, но различающиеся порядком их расположения, будем считать различными. Например, если множество M состоит из трех элементов M = {a, b, c}, то можно образовать множества {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a} , образованные из элементов a, b, c и отличающиеся друг от друга порядком их расположения. Размещением без повторений или просто размещением из n элементов по элементов называется упорядоченное множество, состоящее из элементов с учетом их расположения. Размещения, состоящие из одних и тех же элементов, но различающиеся расположением элементов, считаются разными. Число размещений из n элементов по элементов вычисляется по формуле:

.

Например, чтобы определить, сколькими способами можно выбрать из 10 кандидатов 3 человека на 3 вакантные должности, нужно найти число размещений из 10 по 3. Тогда , то есть выбор из 10 кандидатов на три должности можно произвести 720 способами.

Пример 1.7. Рассмотрим эксперимент, состоящий в выборе без возвращений 4 букв из 10 первых букв русского алфавита и записи слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой ?

Решение. Элементарное событие ={слово, составленное из выбранных букв}, . Число всех слов равно числу упорядоченных множеств из четырех элементов, составленных из элементов множества, содержащего 10 элементов, то есть равно числу размещений: .

Введем событие A ={наудачу составленное слово из 4 букв оканчивается буквой }. Число элементарных событий, благоприятствующих появлению события A, равно числу способов разместить на три оставшиеся места по одной букве из 9 оставшихся (буква исключена из рассмотрения), то есть числу размещений: .

Воспользовавшись классической формулой (1.2), получим искомую вероятность:

.

Ответ: вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой равна 0,1.

Если выбор элементов из множества, состоящего из элементов, производится с возвращением и с упорядочением их в последовательную цепочку, то различными исходами будут всевозможные – элементные наборы, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования.

Полученные в результате множества называются размещениями с повторениями, а их число определяется формулой .

Пример 1.8. Пять человек вошли в лифт на первом этаже 9-этажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной вероятностью выйти на 2-м, 3-м, ..., 9-м этажах, найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже.

Решение. Элементарное событие  данного эксперимента – комбинация выхода пяти пассажиров из лифта. Так как каждый пассажир может выйти из лифта на любом из 8-ми этажей независимо от другого, то он может выйти из лифта восемью способами. Столько же способов выйти из лифта существует для каждого пассажира. Поэтому число элементарных событий пространства  равно = 8⁵.

Пусть событие A = {все пассажиры выйдут на одном этаже}. Этому событию благоприятствуют 8 элементарных событий, так как они могут выйти на любом из 8-ми этажей. Тогда

.

Ответ: вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже, равна 0,000244.

Перестановки. Перестановками из n элементов называются такие размещения из n элементов, которые различаются только расположением элементов. Число P_n перестановок из n элементов можно найти по формуле:

.

Например, число способов расположения 5 слушателей в ряду из 5 мест,

равно числу перестановок из 5 элементов:

P₅ = 5! = 54321 = 120.

Сочетания. Сочетаниями из n элементов по k элементов называются такие размещения, каждое из которых содержит k элементов и которые различаются по меньшей мере одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов вычисляется по формуле:

.

Сочетания, состоящие из одних и тех же элементов и различающиеся только их расположением, считаются эквивалентными, то есть из двух элементов и можно составить только одно сочетание ( ). Тогда, если из каждого сочетания образовать все возможные перестановки, то получим все возможные размещения из элементов по элементов:

,

откуда

.

Можно доказать, что для сочетаний справедлива формула

,

которая во многих случаях упрощает процесс вычислений.

Свойства сочетаний.

1. . 2. . 3. . 4. .

Пример 1.9. На оптовой базе имеется 40 телевизоров, среди которых 3 телевизора имеют некондиционные параметры. В розничную продажу отправляется 10 телевизоров. Найти вероятность того, что один из отобранных телевизоров не соответствует стандарту.

Решение. Пространство элементарных событий  состоит из равновозможных событий , где _i ={выбор 10 телевизоров из 40}. Число выборов 10 телевизоров из 40 определяется числом сочетаний . Событие A ={выбор 10 телевизоров, из которых один некондиционный}. Для того, чтобы произошло событие A нужно один телевизор выбрать из 3 некондиционных и 9 из соответствующих стандарту. Число таких выборов определяется также числом сочетаний .

Воспользовавшись формулой (1.2), найдем вероятность события A:

.

Ответ: вероятность того, что среди отобранных 10 телевизоров окажется один некондиционный, равняется P(A) = 0,44.

Если эксперимент состоит в выборе с возвращением m элементов множества, состоящего из n элементов, но без последующего упорядочения, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m-элементные множества, отличающиеся составом. Получающиеся в результате данного эксперимента комбинации, называются сочетаниями с повторениями, и их число N определяется формулой:

.

Пример 1.10. В библиотеке имеются книги по 20 разделам науки. Поступили четыре заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятность того, что: 1) заказаны книги из различных разделов; 2) заказаны книги из одного и того же раздела науки.

Решение. Элементарное событие данного эксперимента – {четыре заказа на литературу}. Так как состав заказанной литературы может быть любым, то число равновероятных заказов равно числу сочетаний с повторениями из 20 элементов по 4, то есть .

Пусть событие A = {заказаны книги из различных разделов науки}. Число элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно числу сочетаний без возвращения четырех элементов из 20, то есть . Тогда

.

Пусть событие B = {заказаны книги из одного и того же раздела науки}. Число элементарных событий, благоприятствующих событию B, равно числу способов выбрать один элемент из 20, то есть . Тогда

.

Ответ: вероятность того, что заказаны книги из разных разделов науки равна 0, 547; вероятность того, что заказаны книги из одного и того же раздела науки равна 0, 0023;

При классическом определении функции предполагается, что пространство элементарных событий конечно (хотя оно может быть и бесконечным) и все элементарные события равновозможны. Если эти условия не выполняются, то применяются другие методы задания функции .

Вычисление вероятностей в случае дискретного пространства элементарных событий. Рассмотрим вероятностный эксперимент, пространство элементарных событий которого конечно или счетно:

или .

В случае дискретного пространства элементарных событий , как и в классическом случае, базовыми событиями, на которых задается вероятностная мера, являются элементарные события из .

Зададим на  числовую неотрицательную функцию P, такую, что:

1. P(₁) = p₁, P(₂) = p₂, … P(_i) = p_i, … (все p_i  0);

2. или ;

3. или , то есть функция P являет-

ся счетно-аддитивной функцией. Функция P задает на  распределение вероятностей.

Тогда вероятность любого события A  , равна сумме вероятностей элементарных событий, входящих в событие A:

P(A) = . (1.3)

Легко проверить, что функция , найденная по формуле (1.3), удовлетворяет аксиомам Колмогорова 1 – 3.

Действительно,

1) , так как .

2) .

3) Рассмотрим несовместные события Их множество конечно или счетно. Пусть событие содержит элементарных событий, или . Так как события не пересекаются, то событие содержит элементарных событий ( напомним, что конечно или счетно). Так как , то . Отсюда следует, что вероятность объединения событий равна сумме вероятностей несовместных событий: , т. е. аксиома 3 выполняется.

Например, некто стреляет по мишени до первого попадания. Предположим, что попадание в мишень случайно.

Пространство элементарных событий рассматриваемого эксперимента состоит из элементарных событий = {мишень поражена при том выстреле}, при первых выстрелах стрелок промахнулся, и является счетным множеством. Если вероятность того, что мишень поражена при том выстреле, равна , т.е. , то вероятность того, что стрелок израсходовал патронов, вычисляется по формуле .

Мы рассмотрели такие задачи, в которых множество исходов эксперимента состояло из счетного числа элементов множества. Однако легко можно представить себе задачу, где множество всех исходов несчетно. Например, случайное бросание точки на отрезок [T₁, T₂] (эксперимент с измерением температуры) имеет континуум исходов, так как результатом может быть любая точка отрезка. Мы встретимся с большими трудностями, если будем применять известные уже нам методы определения вероятности.

Геометрический метод вычисления вероятностей. Рассмотрим вероятностный эксперимент, пространство элементарных событий  которого содержит несчетное множество элементарных событий . Элементарные события  будем трактовать как координаты точки, пространство  - как ограниченное множество евклидова пространства R¹, R², R³, а события A  F – как некоторые области пространства . Предположим также, что множество  и области A имеют конечную геометрическую меру: длину в R¹; площадь в R²; объем в R³.

Например, предположим, что эксперимент состоит в случайном выборе точки на промежутке [0; 1). Множеством  всех исходов эксперимента в данном случае является множество точек промежутка [0; 1). Фраза "произведено испытание" означает, что выбрана точка   . -алгебру F образуем из множеств, для которых имеет смысл понятие длины, например из всех измеримых промежутков .

Определим числовую неотрицательную функцию P на множестве всех подмножеств A множества , таких, что A  F.

Пусть из множества G =  случайным образом выбирается точка так, что ее выбор из некоторой области g (событие A), содержащейся в G, объективно не имеет преимущества перед выбором точки из любой другой области, содержащейся в G, и не зависит от ее расположения и формы. Тогда вероятность того, что точка выбирается из области g (событие A), вычисляется по формуле:

. (1.3)

В евклидовом пространстве R¹ в правой части формулы (1.3) находится отношение длин, в R² – отношение площадей, в R³ – отношение объемов. Легко показать, что такое задание вероятностной меры удовлетворяет аксиомам Колмогорова 1 – 3.

Продолжим рассмотрение эксперимента, состоящего в случайном выборе точки на полуинтервале [0; 1). Определим вероятность на -алгебре F так, что вероятность попадания точки на промежуток [a; b) длиной  = b – a не зависит от положения этого промежутка на полуинтервале [0; 1) длиной  = 1 и пропорциональна его длине  =b – a, то есть P(A) = (b – a)/(1 - 0) = / = =(b – a). Тогда, P() = 1 и 0  P(A = [a; b))  1. Более того, для любого конечного множества непересекающихся промежутков вероятность их объединения равна .

Если множество элементарных событий  есть множество в евклидовом пространстве, имеющее конечную геометрическую меру (конечные длину, площадь, объем), и любой области A соответствует вероятность, определяемая по формуле (3.4.1), то такой метод задания вероятностей события A   называется геометрическим.

Пример 1.11. Поезда метро идут в данном направлении с интервалом 2 минуты. Пассажир в случайный момент приходит на станцию метро. Определить вероятность того, что пассажиру придется ждать поезда не более 10 секунд.

Решение. Пространство элементарных событий рассматриваемого эксперимента состоит из точек интервала длительностью 2 минуты, так как нет никаких оснований считать какой-либо один момент прихода пассажира в интервале между поездами более вероятным, чем любой другой. Событие A, состоящее в том, что пассажир ожидает поезд меньше 10 секунд, состоит из точек интервала длительностью 10 секунд и отстоящих от его конца меньше, чем на 10 секунд. Поэтому вероятность события A вычислим по формуле (1.3):

P(A) = = 0,083.

Ответ: вероятность того, что пассажиру придется ждать поезда не более 10 секунд, равна 0,083.

Пример 1.12. На отрезке случайным образом выбираются две точки и . Определить вероятность того, что из отрезков, полученных разбиением отрезка точками и на части, можно построить треугольник.

Решение. Поскольку, выбрать две точки отрезка можно бесконечным числом способов, то отождествим пространство элементарных событий с множеством точек квадрата со стороной единичной длины. Пусть координата точки , координата точки . Выбор точек и на отрезке равносильно выборе точки квадрата со стороной единичной длины. Следовательно, элементарное событие = { выбор точки квадрата со стороной единичной длины}. Введем событие { из отрезков, полученных разбиением отрезка точками и на части, можно построить треугольник}. Это событие состоит из точек квадрата, для которых сумма любых отрезков больше третьего: . Построим квадрат со стороной единичной длины и выделим в нем множество точек, соответствующее событию (заштрихованное множество точек).

Рис. 1.2

Так как площадь квадрата равна 1, а площадь заштрихованной области равна сумме площадей соответствующих треугольников , то по формуле (1.3) вероятность события равна: .

Ответ: вероятность того, что из отрезков, полученных разбиением отрезка точками и на части, можно построить треугольник, равна .

Статистический метод задания вероятностей. В предыдущих пунктах отмечалось, что построение вероятностной модели эксперимента начинается с определения вероятностного пространства. Но во многих случаях трудно определить число элементарных событий и указать основания, позволяющие считать, что все элементарные события равновозможны. В таких случаях прибегают к статистическому методу задания вероятностей, который не требует знания числа элементарных событий и обоснования их равновероятности.

Рассмотрим вероятностный эксперимент, пространство элементарных

событий которого фиксировано. Повторим эксперимент при одинаковом комплексе условий раз. Если при этом определенное событие наступило раз, то отношение

( 1.4)

числа наступления события А к общему числу повторений вероятностного эксперимента (испытаний), называется относительной частотой или частостью наступления события А.

Относительная частота события удовлетворяет следующим свойствам.

1. Частость случайного события заключается в пределах от нуля до единицы:

2. Частость невозможного события равна нулю:

Если событие А невозможное, то при любом повторении эксперимента при неизменном комплексе условий , Следовательно,

3. Частость достоверного события равна единице:

Если событие А достоверно, то , так как событие А наступает при каждой реализации эксперимента. Поэтому

4. Если события несовместны, то относительная частота объединения этих событий равна сумме относительных частот этих событий:

Действительно, пусть события несовместны и их относительные частоты равны:

Из несовместности рассматриваемых событий следует, что в числе повторений вероятностного эксперимента рассматриваемой серии нет таких испытаний, в которых какие либо два события и появились вместе. Поэтому событие появилось раз. Следовательно, относительная частота события составляет:

т. е. равна сумме относительных частот этих событий.

Относительная частота наступления события А в длинных повторных сериях из повторений вероятностного эксперимента при одинаковом комплексе условий обладает свойством устойчивости, т. е. редко сколь- нибудь значительно отклоняется от некоторого постоянного числа.

Это положительное число меньшее единицы и представляет собой количественную меру возможности наступления случайного события А в эксперименте и принимается за оценку вероятности события А, т. е. Оценка вероятности события А тем точнее, чем больше число повторений эксперимента в серии при сохраняющемся комплексе условий .

Например, необходимо в большой партии оценить долю изделий, обладающих внешним дефектом – признаком А. Сплошная проверка требует много времени и средств. Поэтому случайным образом отбирают некоторое число изделий для проверки, т. е. производят выборку. По относительной частоте изделий с признаком А в выборке судят об относительной частоте их во всей партии.

Существуют методы, при помощи которых можно рассчитать число повторений эксперимента для того, чтобы относительной частотой наступления события А оценивалась его вероятность с определенной степенью точности причем это неравенство выполняется с некоторой вероятностью. И обратно, используя эти методы, на основании числа повторений эксперимента раз, можно оценить точность замены вероятности события его относительной частотой.

Примерами, где используется статистический метод задания вероятностей, являются отказы технических устройств; брак на производстве; заболеваемость и смертность населения; метеорологические, многие биологические

явления и т. д. В указанных случайных явлениях наблюдается устойчивость относительных частот, если они протекают в определенных фиксированных условиях.

Таким образом, при статистическом методе задания вероятностей пространство произвольное пространство элементарных событий некоторого эксперимента. Вероятность события А сопоставляется с относительной частотой наступления этого события при повторении эксперимента в определенных условиях, которые предполагаются фиксированными и не изменяющимися при повторении эксперимента.

Пример 1.13. Среди 1000 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 35, не отвечающих стандарту. Найти относительную частоту появления нестандартных деталей.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что на станке изготовлена нестандартная деталь. Тогда, для данного эксперимента, а . Применив формулу (1.4), получим относительную частоту появления нестандартной детали на станке-автомате.

Пример 1.14. Относительная частота рождения девочки равна 0,49. Сколько может родиться девочек среди 1000 новорожденных?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что родилась девочка. Воспользуемся формулой (1.4). Поскольку , а , то, в формуле (1.4) неизвестной величиной является . Разрешив формулу относительно , получим число девочек, которые могут родиться: .

Вопросы для самопроверки

1. Какие функции множеств называются счетно-аддитивными?

2. Сформулируйте определение вероятности события.

3. Как формулируется аксиома непрерывности?

4. Что называют распределением вероятности?

5. Что называют вероятностным пространством?

6. Какие события называются равновозможными?

7. На чем основано понятие равновозможности событий?

8. Какое определение вероятности называют классическим?

9. Какие элементарные события называют благоприятствующими появлению события А?

10. По какой формуле вычисляется вероятность события в классической вероятностной модели?

11. Какой раздел математики называется комбинаторикой?

12. Что называют размещениями?

13. По какой формуле вычисляется число размещений из различных элементов?

14. Что называют сочетаниями?

15. По какой формуле вычисляется число сочетаний из различных элементов?

16. Что называют перестановками?

17. По какой формуле вычисляется число перестановок из различных элементов?

18. По какой формуле вычисляется число сочетаний с повторениями из различных элементов по элементов?

19. Какой формулой определяется число размещений по элементов с повторениями из элементов?

20. Какие события являются базовыми при определении вероятности в случае дискретного пространства элементарных событий?

21. Чему равна вероятность элементарного события в случае дискретного пространства элементарных событий?

22. Чему равна вероятность любого события в случае дискретного пространства элементарных событий?

23. Как трактуются элементарные события при геометрическом методе вычисления вероятностей?

24. Как определяется геометрическая вероятность в общем случае?

25. Как определяется геометрическая вероятность в пространственном случае?

26. Как определяется геометрическая вероятность в плоском случае?

27. Как определяется геометрическая вероятность в линейном случае?

28. Каковы свойства геометрической вероятности?

29. Что такое относительная частота (частость) события?

30. Какое определение вероятности называют статистическим?

31. Какими свойствами обладает статистическая вероятность?

32. Чему равна частость достоверного события?

33. Чему равна частость невозможного события?

34. В каких пределах заключена относительная частота события?

35. Приведите пример, где применяется статистический метод задания вероятности.